資料結構學習 並查集講解（思路，時間複雜度）
並查集（Disjoint set或者Union-find set）是一種樹型的資料結構，常用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合併及查詢問題。
2、 基本操作
並查集是一種非常簡單的資料結構，它主要涉及兩個基本操作，分別為：
A． 合併兩個不相交集合
B． 判斷兩個元素是否屬於同一個集合
（1） 合併兩個不相交集合（Union(x,y)）
合併操作很簡單：先設定一個數組Father[x]，表示x的“父親”的編號。那麼，合併兩個不相交集合的方法就是，找到其中一個集合最父親的父親（也就是最久遠的祖先），將另外一個集合的最久遠的祖先的父親指向它。
上圖為兩個不相交集合，b圖為合併後Father(b):=Father(g)
（2） 判斷兩個元素是否屬於同一集合（Find_Set(x)）
本操作可轉換為尋找兩個元素的最久遠祖先是否相同。可以採用遞迴實現。
3、 優化
（1） Find_Set(x)時，路徑壓縮
尋找祖先時，我們一般採用遞迴查詢，但是當元素很多亦或是整棵樹變為一條鏈時，每次Find_Set(x)都是O(n)的複雜度。為了避免這種情況，我們需對路徑進行壓縮，即當我們經過”遞推”找到祖先節點後，”回溯”的時候順便將它的子孫節點都直接指向祖先，這樣以後再次Find_Set(x)時複雜度就變成O(1)了，如下圖所示。可見，路徑壓縮方便了以後的查詢。
（2） Union(x,y)時，按秩合併
即合併的時候將元素少的集合合併到元素多的集合中，這樣合併之後樹的高度會相對較小。
4、 程式設計實現
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int
father[MAX]; /* father[x]表示x的父節點*/
int
rank[MAX]; /*rank[x]表示x的秩*/
void
Make_Set(int
x)
{
father[x] = x;
//根據實際情況指定的父節點可變化
rank[x] = 0;
//根據實際情況初始化秩也有所變化
}
/* 查詢x元素所在的集合,回溯時壓縮路徑*/
int
Find_Set(int
x)
{
if
(x != father[x])
{
father[x] = Find_Set(father[x]);
//這個回溯時的壓縮路徑是精華
}
return
father[x];
}
/*
按秩合併x,y所在的集合
下面的那個if else結構不是絕對的，具體根據情況變化
但是，宗旨是不變的即，按秩合併，實時更新秩。
*/
void
Union(int
x, int y)
{
x = Find_Set(x);
y = Find_Set(y);
if
(x == y) return;
if
(rank[x] > rank[y])
{
father[y] = x;
}
else
{
if
(rank[x] == rank[y])
{
rank[y]++;
}
father[x] = y;
}
}
|
5、 複雜度分析
空間複雜度為O(N)，建立一個集合的時間複雜度為O(1)，N次合併M查詢的時間複雜度為O(M Alpha(N))，這裡Alpha是Ackerman函式的某個反函式，在很大的範圍內（人類目前觀測到的宇宙範圍估算有10的80次方個原子，這小於前面所說的範圍）這個函式的值可以看成是不大於4的，所以並查集的操作可以看作是線性的。具體複雜度分析過程見參考資料（3）。
6、 應用
並查集常作為另一種複雜的資料結構或者演算法的儲存結構。常見的應用有：求無向圖的連通分量個數，最近公共祖先（LCA），帶限制的作業排序，實現Kruskar演算法求最小生成樹等。
7、 參考資料
（3） Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.
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更多關於資料結構和演算法的介紹，請檢視：資料結構與演算法彙總
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