圖

圖的基本概念

圖是資料結構G＝（V，E）
V（G）是G中結點的有限非空集合
E（G）是G中邊的有限集合
若圖中代表一條邊的偶對是有序的，則稱為有向圖，<u，v>u稱為該邊的始點（尾）
，v稱為邊的終點（頭）。有向邊也稱為弧。
如果邊（u，u）或者<u,u>被允許稱為自迴路。
如果兩頂點間允許有多條相同邊的圖，稱為多重圖。
如果一個圖有最多的邊稱為完全圖。
子圖：G＝(V’,E’)其中V’（G）是V(G),E’(G)是E(G)子集。
路徑：是一個頂點序列，其中一個迴路是一條簡單路徑。
一個無向圖中，若兩個頂點之間存在一條路徑，則稱兩個頂點之間連通

圖ADT

    //ADT Graph｛
        資料：
            頂點的非空集合V和邊的集合E，每條邊由V中頂點的偶對<u,v>表示
        運算：
            Create():構造一個不包含任何邊的有向圖
            Destroy（）：撤銷一個有向圖
            Exist（u，v）：如果圖中存在邊<u,v>，則函式返回true
 
，否則返回false
            Insert(u,v,w):向圖中新增權為w的邊<u,v>，若插入成功，則函式返回Success；若圖中已存在邊<u,v>，則函式返回Duplicate；其他情況函式返回Failure
            Remove(u,v):從圖中刪除邊<u,v>，若圖中不存在邊<u,v>，則返回NotPresent;若圖中已存在邊<u,v>，則從圖中刪除此邊，函式返回Success;其他情況函式返回Failure.
            Vertices()：函式返回圖中頂點數目


        //Graph 類
 

        template<class T>
        class Graph
        {
        public:
            Virtual ResultCode Insert(int u,int v,T& w)=0;
            Virtual ResultCode Remove(int u,int v)=0;
            Virtual bool Exist(int u,int v)const=0;
            Virtual int Vertices()const{return n;}

        protected:
            int n,e;
            };

圖的儲存結構

圖的矩陣表示法

鄰接矩陣

是表示圖中頂點之間相鄰關係的矩陣，一個有n個頂點的圖G＝（V，E）的鄰接矩陣是一個n＊n的矩陣A。
如果G是無向圖，那麼A中元素定義
A[u][v]=1 如果（u，v）屬於集合E（G）
A[u][v]=0 其他

如果G是有向圖，那麼A中元素定義如下
A[u][v]=1 如果<u,v>屬於集合E（G）
A[u][v]=0 其他

關聯矩陣

有向圖G（V，E）的關聯矩陣定義如下n＊m階矩陣
A[v][j]=1 頂點v是弧j的起點
A[v][j]=－1 頂點v是弧j的終點
A[v][j]=0 頂點v與弧j不相關聯

鄰接矩陣的實現

鄰接矩陣有兩種，不帶權圖和網的鄰接矩陣。可以用一個三元組（u,v,w)代表一條邊，u和v是邊的兩個頂點，w表示頂點u和v的下列關係。
1。a[u][u]=0:兩種鄰接矩陣的主對角線元素都是0；
2。a[u][v]=w：若邊<u,v>屬於集合E，則w＝1（不帶權圖）或w＝w(i,j)（網）；若邊<u,v>不屬於E則w=noEdge,noEdge=0（不帶權圖）或noEdge=無窮（網）

• 鄰接矩陣類

//MGraph類
    template<class T>
    class MGraph:public Graph<T>
    {
    public:
        MGraph(int mSize,const T& noedg);
        ~MGraph();
        ResultCode Insert(int u,int v,T& w);
        ResultCode Remove(int u,int v);
        bool Exist(int u,int v)const;
        .
        .
        .
        protected:
            T**a;
            T noEdge;
    };

• 建構函式和解構函式

    //
        template<class T>
        MGraph<T>::MGraph(int mSize,const T& noedg)
        {
            n=mSize;
            e=0;//邊數為0
            noEdge=noedg;
            a=new T*[n];
            //建立有n個結點但是無邊的圖
            for(int i = 0;i<n;i++){
                a[i] = new T [n];
                for(int j=0;j<n;j++) a[i][j]=noEdge;
                a[i][i]=0  //對角線上元素為0
                ｝
            ｝
            template<class T>
            MGraph<T>::~MGraph()
            {
                for(int i=0;i<n;i++) delete []a[i];
                delete []a;
            }

• 邊的搜尋，插入和刪除

        template<class T>
        bool MGraph<T>::Exist(int u,int v) //搜尋邊
        {
            if(u<0||v<0||u>n-1||v>n-1||u==v||a[u][v]=noEdge)
            return false;
            return true;
        }

        ResultCode MGraph<T>::Insert(int u,int v,T& w)
        {
            if(u<0||v<0||u>n-1||u==v) return  Failure;
            if(a[u][v]!=noEdge) return Duplicate;
            a[u][v]=w;e++;return Success;
        }

        ResultCode MGraph<T>::Remove(int u,int v)
        {
            if(u<0||v<0||u>n-1||u==v,return Failure;
            if(a[u][v]==noEdge) return NotPresent;
            a[u][v] = noEdge;
            e--;
            return Success;
        }

圖的鄰接表 表示方式

鄰接表是圖的另一種有效的儲存方法，在為圖中的每個頂點u建立一個單鏈表，連結串列中每個結點代表一條邊<u,v>稱為邊結點。
每個單鏈表相當於鄰接矩陣的一行。
每個單鏈表可設立一個存放頂點u有關資訊，稱為頂點結點。

//ENode類
    struct ENode
    {
        ENode(){nextArc=NULL;}
        ENode(int vertex,T weight,ENode* next)
        {
            adjVex=vertex;
            w=weight;
            nextArc=next;
        }
        int adjVex;
        T w;
        ENode* nextArc;
    };          


    //LGraph類
    template <class T>
    class LGraph:public Graph<T>
    {
    public:
        LGraph(int mSize);
        ~LGraph();
        ResultCode Insert(int u,int v,T& w);
        ResultCode Remove(int u,int v);
        bool Exist(int u,int v) const;
        .
        .
        .
    protected:
        ENode<T>** a;
    };

    //建構函式和解構函式
    template<class T>
    LGraph<T >::LGraph(int mSize)
    {
        n=mSize;e=0;
        a=new ENode<T>*[n];
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=NULL;
    }
    LGraph<T >::~LGraph()
    {
        ENode<T>* p,*q;
        for(int i=0;i<n;i++){
         p=a[i];
         q=p;
         while(p){
             p=p->nextArc;
             delete q;
             q=p;
            }
        }
        delete[] a;
    }

    //邊的搜尋
    template<class T>
    bool LGraph<T >::Exist(int u,int v)const
    {
        if(u>0||v<0||u>n-1||u==v) return false;
        ENode<T>* p=a[u];
        while(p&& p->adjVex!=v) p=p->nextArc;
        if(!p) return false;
        else return true;
    }


    //邊的插入
    template<class T>
    ResultCode LGraph<T>::Insert(int u,int v,T& w)
    {
        if(u<0||v<0||u>n-1||u==v) return Failure;
        if(Exist (u,v)) return Duplicate;
        ENode<T>* p=new ENode<T>(v,w,a[u]);
        a[u]=p;
        e++;
        return Success;
        }
    //邊的刪除
    template<class T>
    ResultCode LGraph<T>::Remove(int u,int v)
    {
        if(u<0||v<0||u>n-1||u==v) return Failure;
        ENode<T>* p=a[u],*q=NULL;
        while (p&&p->adjVex!=v){
            q=p;
            p=p->nexArc;
            }
    if(!p) return NotPresent;
    if(q) q->nexArc=p->nextArc;
    else a[u]＝p->nextArc;
    delete p;
    e--;
    return Success;
    }