演算法導論學習筆記（九）：紅黑樹

阿新 • • 發佈：2019-01-12

前言

前面已經學完了二叉查詢樹，這是我們學習紅黑樹的基礎，必須要熟練掌握，不然學習紅黑樹會很吃力的。雖然前面

已經學習了二叉查詢樹，但感覺學習紅黑樹的時候還是沒那麼輕鬆。

紅黑樹是一類特殊的二叉查詢樹，是一顆平衡的二叉查詢樹，但只是接近平衡。它能保證在最壞情況下，基本的動態

集合操作的時間為O(lgN)。

我們知道在二叉查詢樹上執行的基本操作的時間和樹的高度成正比。對於一顆含有N個結點的完全二叉樹，在有些情

況下，可能會形成一個斜樹，這樣的話其高度就是結點個數，這樣時間複雜度為O(N)，顯然我們並不希望出現這樣的

情況，所以上章中也有通過隨機插入結點來降低這個情況的出現，但還是不能保證這種情況的不出現。那麼這時，我

們的紅黑樹就派上用場了。它能保證在最壞情況下，基本的動態集合操作的時間為O(lgN)。

性質

一顆二叉查詢樹如果滿足下面的紅黑性質，則為一顆紅黑樹：

1、每個結點或是紅的，或是黑的

2、根結點是黑的

3、每個葉結點(NIL)是黑的

4、如果一個結點是紅的，那麼它的兩個子結點都是黑的

5、對每個結點，從該結點到其子孫結點的所有路徑上包含相同數目的黑結點

幾點說明：

上面提到的葉結點(NIL)和我們之前講樹的葉子結點是不同的。這裡的NIL是一個哨兵，是為了方便處理紅黑樹程式碼中

的邊界條件。

1 5

NIL NIL NIL NIL

像上面的二叉查詢樹，如果是一般的二叉查詢樹的話，那麼1和5就是葉子結點了，其指標域的左右孩子指標都指向

NULL。對於紅黑樹的話，四個NIL就是葉子結點了。還有就是根結點的p指標也是指向NIL的。

如果這裡的葉結點的概念沒搞清楚的話，對後面的理解以及程式碼的編寫都會造成干擾。

基本操作

旋轉

對紅黑樹的主要操作就是查詢、插入和刪除了。因為紅黑樹本身就是一顆二叉查詢樹，而且查詢操作不會對樹作修

改，所以查詢和二叉查詢樹是一樣的，直接遞迴即可。但插入和刪除對樹作了修改，這時新的二叉查詢樹可能已經不

是紅黑樹了，所以我們必須進行一些調整來使其保持紅黑樹的性質。而為了保持這些性質，就要改變樹中某些結點的

顏色以及指標結構。

旋轉操作的示意圖如下：

上圖分別是左旋轉和右旋轉的操作。這裡我以左旋轉來說，右旋轉類似。這裡在結點x上做左旋轉，我們假設它的右

孩子是y不是NIL，x可以為樹內任意右孩子不是NIL的結點。左旋轉以x到y之間的鏈為"支軸"進行。它使y成為該子樹新

的根，x成為y的左孩子，而y的左孩子則成為x的右孩子。

不難看出，這樣的旋轉不但調整了樹的結構，而且可以使樹依然滿足二叉查詢樹的性質。所以我們使用這種旋轉來調

整紅黑樹插入或刪除結點後的指標結構。下面是左旋轉和右旋轉的程式碼;

void left_rotate (BiTree* T, node* x)
{
	node* y = x->right;
	x->right = y->left;
	if (y->left != NIL)
		y->left->p = x;
	
	y->p = x->p;
	if (x->p == NIL)
		*T = y;
	else if (x == x->p->left)
		x->p->left = y;
	else
		x->p->right = y;
	
	y->left = x;
	x->p = y;
}

void right_rotate (BiTree* T, node* x)
{
	node* y = x->left;
	x->left = y->right;
	if (y->right != NIL)
		y->right->p = x;

	y->p = x->p;
	if (x->p == NIL)
		*T = y;
	else if (x == x->p->left)
		x->p->left = y;
	else
		x->p->right = y;

	y->right = x;
	x->p = y;
}

插入

講完了旋轉操作，接下來就是紅黑樹基本操作中的主角了：插入和刪除。我們先從較簡單的插入操作開始。紅黑樹的

插入操作和我們前面的二叉查詢樹的插入是很像的，但也有一些區別。首先就是葉結點的不同了，當我們插入一個結

點z時，紅黑樹中要設定left[z]和right[z]為NIL，一般二叉查詢樹中設定left[z]和right[z]為NULL來保持正確的樹結構。我

們將新插入的結點顏色設定為紅色，這樣可能會違反某條紅黑性質，如果插入結點的父結點是黑色，那麼不會違反任

何一條紅黑性質，不用作調整。如果插入結點的父節點是紅色，顯然違反了性質4，所以最後我們需要調整新的樹的

結構，這通過函數RB_Insert_Fixup (BiTree* T, node* z)來完成。

當使用RB_Insert_Fixup (BiTree* T, node* z)來調整時，主要有6種情況。其中父結點是其祖父結點左右子時各有3種

情況，而且是對稱的，故這裡就以父結點是其祖父結點的左孩子來進行說明。

情況1：z的叔叔結點y是紅色的

如上圖所示:(a)圖z為右孩子，(b)圖z為左孩子

只有當p[z]和y都為紅色時，才會發生情況1，處理方法就是將p[z]和y著黑色，但這樣修改之後c到葉結點所經歷路徑的

所有黑結點個數增加了1，違反了紅黑性質5。為了保持性質5，將c著紅色即可。

情況2：z的叔叔y是黑色的，而且z是右孩子

情況3：z的叔叔y是黑色的，而且z是左孩子

可以看出，情況2、3都違反了性質4(如果一個結點是紅的，那麼它的兩個子結點都是黑的)。當我們遇到情況3時，違

反了性質4，以C點進行右旋轉，並修改結點顏色，便得到上圖中的第三個圖，符合性質4。當我們遇到情況2時，只要

以A結點進行左旋轉，便可得到情況3。

/*調整樹結構*/
void RB_Insert_Fixup (BiTree* T, node* z)
{
	while (z->p->color == RED)
	{
		if (z->p == z->p->p->left)  //父結點是其祖父結點的左孩子
		{
			node* y = z->p->p->right;
			if (y->color == RED)   //情況1
			{
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				y->color = BLACK;
				z = z->p->p;
			}
			else
			{
				if (z == z->p->right) //情況2
				{
					z = z->p;
					left_rotate (T, z);
				}
				
				//情況3
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				right_rotate (T, z->p->p);
			}
		}
		else if (z->p == z->p->p->right)
		{
			node* y = z->p->p->left;
			if (y->color == RED)
			{
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				y->color = BLACK;
				z = z->p->p;
			}
			else
			{
				if (z == z->left)
				{
					z = z->p;
					right_rotate (T, z);
				}

				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				left_rotate (T, z->p->p);
			}
		}
	}
	(*T)->color = BLACK;
}

/*插入結點*/
void RB_Insert (BiTree* T, node* z)
{
	node* y = NIL;
	node* x = *T;
	while (x != NIL)
	{
		y = x;
		if (z->key < x->key)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	z->p = y;

	if (y == NIL)
		*T = z;
	else if (z->key < y->key)
		y->left = z;
	else
		y->right = z;

	z->color = RED;
	RB_Insert_Fixup (T, z);
}

刪除

接下來繼續講最難的刪除操作。刪除操作也是在二叉查詢樹的刪除操作基礎上進行小修改的。如果實際刪除的結點是

紅色的，肯定不會違反性質5，不需要對樹進行調整。當如果實際刪除的結點是黑色的話，刪除後違反性質5，這就需

要使用函式RB_Delete_Fixup (BiTree* T, node* z)來完成調整啦,其中z是實際刪除結點的子結點。

刪除操作會遇到4種情況(以z是p[z]的左孩子為例)：

情況1：z的兄弟w是紅色的

情況2：z的兄弟w是黑色的，而且w的兩個孩子都是黑色的

情況3：z的兄弟w是黑色的，w的左孩子是紅色的，w的右孩子是黑色的

情況4：z的兄弟w是黑色的，而且w的右孩子是紅色的

下面來具體看看4種情況以及對應的解決辦法(下面的圖中x就是z)

情況1：z的兄弟w是紅色的

處理方案：改變w和p[z]的顏色，再對p[z]做一次左旋轉，而且紅黑性質得以繼續保持。這樣下來，x有了新的兄弟節點

w，這時我們已經將情況1轉為情況2、3或4了。

情況2：z的兄弟w是黑色的，而且w的兩個孩子都是黑色的

處理方案：因為結點B左邊黑色高度比右邊少1，只要將w變為紅色，就可以實現B結點右邊黑色高度減少1以滿足性質

5。

情況3：z的兄弟w是黑色的，w的左孩子是紅色的，w的右孩子是黑色的

處理方案：交換left[w](即C)和w的顏色，並對w進行右旋轉，從而得到情況4。

情況4：z的兄弟w是黑色的，而且w的右孩子是紅色的

處理方案：這裡要修改三個結點的顏色：w改為p[z](B)的顏色，p[z](B)改為黑色，right[z](E)改為黑色。之後對p[z]做一

次左旋轉。最後記得將z置為根。

上面所說的以z是p[z]的左孩子為例的四種情況加上以z是p[z]的右孩子一共八種並不是所有情況，上面只所以單獨講他

們是因為他們是對稱的。還有兩種其它情況。

1、y原來是根結點，而y的一個紅色的孩子成為了新的根。這種情況破壞了性質2，直接把根結點著黑色即可。

2、z和p[y]都是紅色的。這種情況破壞了性質2和性質4，直接把z著黑色即可。

void RB_Delete_Fixup (BiTree* T, node* z)
{
	node* w;
	while ((z != *T) && (z->color == BLACK))
	{
		if (z == z->p->left)  
		{
			w = z->p->right;
			if (w->color == RED)  //情況1
			{
				w->color = BLACK;
				z->p->color = RED;
				left_rotate (T, z->p);
				w = z->p->right;
			}

			if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) //情況2
			{
				w->color = RED;
				z = z->p;
			}
			else
			{
				if (w->right->color == BLACK) //情況3
				{
					w->color = RED;
					w->left->color = BLACK;	
					right_rotate (T, w);
					w = z->p->right;
				}
				//情況4
				w->color = z->p->color;
				z->p->color = BLACK;
				w->right->color = BLACK;
				left_rotate (T, z->p);
				z = *T;
			}
		}
		else if (z == z->p->right)
		{
			w = z->p->left;
			if (w->color == RED)
			{
				w->color = BLACK;
				z->p->color = RED;
				right_rotate (T, z->p);
				w = z->p->left;
			}

			if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK))
			{
				w->color = RED;
				z = z->p;
			}
			else
			{
				if (w->left->color == BLACK)
				{
					w->color = RED;
					w->right->color = BLACK;
					left_rotate (T, w);
					w = z->p->left;
				}
				w->color = z->p->color;
				z->p->color = BLACK;
				w->left->color = BLACK;
				right_rotate (T, z->p);
				z = *T;
			}
		}
	}
	z->color = BLACK;
}

void RB_Delete (BiTree* T, BiTree z)
{
	BiTree x, y;  
	if ((z->left == NIL) || (z->right == NIL))  
        y = z;  
    else  
        y = RB_Successor (z);  
  
	if (y->left != NIL)  
		x = y->left;  
    else  
		x = y->right;  
  
	x->p = y->p;  
  
    if (y->p == NIL)  
        *T = x;  
	else if (y == y->p->left)  
		y->p->left = x;  
    else  
		y->p->right = x;  
  
    if (y != z)  
        z->key = y->key;  

	if (y->color == BLACK)
		RB_Delete_Fixup (T, x);
    delete y;
}

完整測試程式碼

#include<iostream>
using namespace std;

#define RED 0
#define BLACK 1

typedef struct node
{
	node* left;
	node* right;
	node* p;
	int key;
	bool color;
	node (node* x, int k):left(x),right(x),p(x),key(k),color(BLACK){}
}*BiTree;

node* NIL = new node(NULL, -1);

void left_rotate (BiTree* T, node* x)
{
	node* y = x->right;
	x->right = y->left;
	if (y->left != NIL)
		y->left->p = x;
	
	y->p = x->p;
	if (x->p == NIL)
		*T = y;
	else if (x == x->p->left)
		x->p->left = y;
	else
		x->p->right = y;
	
	y->left = x;
	x->p = y;
}

void right_rotate (BiTree* T, node* x)
{
	node* y = x->left;
	x->left = y->right;
	if (y->right != NIL)
		y->right->p = x;

	y->p = x->p;
	if (x->p == NIL)
		*T = y;
	else if (x == x->p->left)
		x->p->left = y;
	else
		x->p->right = y;

	y->right = x;
	x->p = y;
}

BiTree RB_Minimum (BiTree x)
{
	while (x->left != NIL)
		x = x->left;
	return x;
}

BiTree RB_Successor (BiTree x)
{
	if (x->right != NIL)
		return RB_Minimum (x->right);

	BiTree y = x->p;
	while ((y != NIL) && (x == y->right))
	{
		x = y;
		y = y->p;
	}
	return y;
}

node* RB_Search (BiTree T, int key)
{
	if ((T->key == -1) || (key == T->key))
		return T;
	if (key < T->key)
		return RB_Search (T->left, key);
	else
		return RB_Search (T->right, key);
}

/*調整樹結構*/
void RB_Insert_Fixup (BiTree* T, node* z)
{
	while (z->p->color == RED)
	{
		if (z->p == z->p->p->left)  //父結點是其祖父結點的左孩子
		{
			node* y = z->p->p->right;
			if (y->color == RED)   //情況1
			{
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				y->color = BLACK;
				z = z->p->p;
			}
			else
			{
				if (z == z->p->right) //情況2
				{
					z = z->p;
					left_rotate (T, z);
				}
				
				//情況3
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				right_rotate (T, z->p->p);
			}
		}
		else if (z->p == z->p->p->right)
		{
			node* y = z->p->p->left;
			if (y->color == RED)
			{
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				y->color = BLACK;
				z = z->p->p;
			}
			else
			{
				if (z == z->left)
				{
					z = z->p;
					right_rotate (T, z);
				}

				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				left_rotate (T, z->p->p);
			}
		}
	}
	(*T)->color = BLACK;
}

/*插入結點*/
void RB_Insert (BiTree* T, node* z)
{
	node* y = NIL;
	node* x = *T;
	while (x != NIL)
	{
		y = x;
		if (z->key < x->key)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	z->p = y;

	if (y == NIL)
		*T = z;
	else if (z->key < y->key)
		y->left = z;
	else
		y->right = z;

	z->color = RED;
	RB_Insert_Fixup (T, z);
}

void RB_Delete_Fixup (BiTree* T, node* z)
{
	node* w;
	while ((z != *T) && (z->color == BLACK))
	{
		if (z == z->p->left)  
		{
			w = z->p->right;
			if (w->color == RED)  //情況1
			{
				w->color = BLACK;
				z->p->color = RED;
				left_rotate (T, z->p);
				w = z->p->right;
			}

			if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) //情況2
			{
				w->color = RED;
				z = z->p;
			}
			else
			{
				if (w->right->color == BLACK) //情況3
				{
					w->color = RED;
					w->left->color = BLACK;	
					right_rotate (T, w);
					w = z->p->right;
				}
				//情況4
				w->color = z->p->color;
				z->p->color = BLACK;
				w->right->color = BLACK;
				left_rotate (T, z->p);
				z = *T;
			}
		}
		else if (z == z->p->right)
		{
			w = z->p->left;
			if (w->color == RED)
			{
				w->color = BLACK;
				z->p->color = RED;
				right_rotate (T, z->p);
				w = z->p->left;
			}

			if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK))
			{
				w->color = RED;
				z = z->p;
			}
			else
			{
				if (w->left->color == BLACK)
				{
					w->color = RED;
					w->right->color = BLACK;
					left_rotate (T, w);
					w = z->p->left;
				}
				w->color = z->p->color;
				z->p->color = BLACK;
				w->left->color = BLACK;
				right_rotate (T, z->p);
				z = *T;
			}
		}
	}
	z->color = BLACK;
}

void RB_Delete (BiTree* T, BiTree z)
{
	BiTree x, y;  
	if ((z->left == NIL) || (z->right == NIL))  
        y = z;  
    else  
        y = RB_Successor (z);  
  
	if (y->left != NIL)  
		x = y->left;  
    else  
		x = y->right;  
  
	x->p = y->p;  
  
    if (y->p == NIL)  
        *T = x;  
	else if (y == y->p->left)  
		y->p->left = x;  
    else  
		y->p->right = x;  
  
    if (y != z)  
        z->key = y->key;  

	if (y->color == BLACK)
		RB_Delete_Fixup (T, x);
    delete y;
}

int main()
{
	BiTree T = NIL;
	for (int i = 0; i < 20; i++)
	{
		int n;
		cin >> n;
		node* z = new node (NIL, n);
		RB_Insert (&T, z);
	}

	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		int m;
		cin >> m;
		node* x = RB_Search (T, m);
		RB_Delete (&T, x);
	}

	return 0;
}

具體執行結果最好通過斷點除錯來觀察。

總結

對於紅黑樹的所有操作，都必須圍繞著其5個紅黑性質。當我們插入或刪除結點後，呼叫RB_Insert_Fixup (BiTree* T,

node* z)或RB_Delete_Fixup (BiTree* T, node* z)都是為了保持紅黑性質。

至於為什麼對於那些情況所採用的那些方式能有效保障紅黑性質，就我現在的水平還證明不出來，只是有個大概的理

解，只好先記錄下來各個情況下的解決方案，

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