以下整理自華羅庚文集數論卷Ⅱ（2010年版）

§1 定義

令m為一自然數，若a-b為m之倍數，則謂之“a，b對模m同餘（congruent）”。以a≡b(mod m)表示之。

對任二整數a及b，常有a≡b(mod 1)。

§2 同餘式之基本性質

定理一 （i）a≡a(mod m) （反身性）；
           （ii）若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)（對稱性）；
           （iii）若a≡b,b≡c(mod m)，則a≡c(mod m)（傳遞性）。

由此三項性質可以分整數為若干類，同類之數皆同餘，異類者皆不同餘，此項之類，名為同餘類。顯然，如以m為模，有m個同餘類：以m除餘1之數為一類，餘2之數為一類，等等。每類中各取一數為代表，此代表組名為一完全剩餘系。

定理二    若a≡b，a1≡b1(mod m)，則a+a1≡b+b1，a-a1≡b-b1(mod m)，及a*a1≡b*b1(mod m)

定理二也可改述如次：任與二類A,B，其中各取一代表a及b，命a+b（或a-b，或ab）所代表之類為C。則C僅與A,B有關，而與其所取之代表無關。亦即A,B中各取一數，其和必在C中。故可定義類C為類A類B之和。以C=A+B表之。同樣，可以定義A-B及A*B。由定理二也可推得“對模m之諸類，對加減乘自封”，但對除法不一定可能，例如3*2≡1*2，2≡2(mod 4)，但3!≡1(mod 4)。故有定理三。

定理三    若ac≡bd(mod m)，c≡d(mod m)及(c,m)=1，則a≡b(mod m)。

以O表諸m之倍數所成之類，易知A+O=A，A*O=O。又以I表以m除餘1諸數所成之類，易見A*I=A。即由A*B=A*C不一定可得B=C。但A中之數與m為互素（注意：如A中有一數與m互素，則其他諸數也與m互素），則可得B=C。如取m為素數p，則除O之外，其他諸類皆與m互素。故得“對素數p，所有的同餘類對加減乘除自封，但行除法時，不能以O去除”。

§3 縮剩餘系

前節已述及，若一類A中有一數與m互素，則A中所有數皆與m互素，或逕述為類A與m互素。若類A與m互素，定義B/A，特別以記I/A。例如：

             (mod 5)

             (mod 6)

表中“X”表示“無意義”。

定義    命ψ(m)為m互素之類之個數。此ψ(m)命為Euler函式，在與m互素之諸類中各取一代表，此名為一縮剩餘系或簡稱縮系，例如：ψ(1)=1，ψ(2)=1，ψ(3)=2，ψ(4)=2等等。此ψ(m)也可述為：不大於m且與m互素之正整數之個數。若m=p為素數，則ψ(p)=p-1。

定理一    若為一縮系，及（k,m）=1，則亦為一縮系。

定理二    (Euler) 若（k,m）=1，則。

取m=p，立得Fermat定理。

定理三    若p為素數，則對所有之整數a有次之同餘式。