1. 一些錯誤觀念的澄清，比如數學意義上的點積和叉積並不對應matlab程式中的.*(按位相乘)和*（矩陣乘法）

2. 內積的物理意義

   • 一種向量到標量的對映
   • 兩向量的夾角的計算
   • 兩向量是否正交的判斷
   • 兩向量的相似性（similarity）的度量

3. 叉積的意義

4. 如何使用C++語言（STL容器，運算子過載）：

   • 表示向量
   • 計算內積
   • 計算叉積
   • 計算模長
   • 計算兩向量的夾角
   • 計算點到直線的距離

prerequisites

內積（inner product）

又叫點乘，點積（dot product），數量積，顧名思義得到的是一個標量（scalar）。

• 代數定義

向量x=[x1,x2,…,xn

]和y=[y1,y2,…,yn]的內積定義為：

x⋅y=∑inxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn

也即：內積等於向量的對應位相乘再相加，如果從函式的觀點來看的話，即是兩個向量相互作用得到一個標量。

內積對相互作用的兩個向量x,y的長度也即各自所含元素的個數是沒有限制的。這點不同於向量叉積，叉積所要的向量長度最高為3.

• 幾何定義

歐式空間中，向量是一個同時擁有長度和方向的幾何物件。向量x的長度記為∥x∥，兩個向量的內積定義為：

x⋅y=∥x∥∥y∥cosθ

θ標識著兩向量的夾角。可見當向量正交時，θ=90∘，x⋅y=0。
當向量y被歸一化為長度為1的單位向量時，x

⋅y=∥x∥cosθ，我們來考察x,y均為二維的情形：

如上圖所示，此時二者的內積表示的恰是其中一個向另外一個的投影，投影長度越小，說明二者的夾角越大，反之亦然。當兩向量同時歸一化為1時，此時內積的定義為：x⋅y=cosθ，內積越大，說明兩者夾角越小，也間接地說明兩者也就越相似，故在許多機器學習的演算法，常用餘弦相似性來度量兩特徵向量的逼近程度。內積既然能夠表徵兩向量的夾角，自然判斷兩向量是否正交（值為0）就更不在話下了。

叉積

又叫叉乘（cross product）或者外積，它的計算結果是一個向量而非標量。叉積所在的向量與參與運算的兩個向量都正交，也即正交於原來的兩個向兩邊所決定的平面，也即兩向量所決定的平面的法向量可通過計算叉積的方式得以確定。當參與運算的兩向量是平行的兩個向量時，得到的叉積為0，也即可通過計算叉積的方式判斷兩向量是否平行。

代數定義

• 二維時

x×y=x1y2−x2y1

• 三維時

根據如圖的計算方法可得：

u×v====∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣(u2v3i+u3v1j+u1v2k)−(u3v2i+u1v3j+u2v1k)(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)

幾何定義

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