幾何起碼常識凸顯數學課本有一系列重大錯誤

               ——不能不重視著名數學家朱梧檟的“超人”發現

          黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區9-303 郵編510631）

   [摘要]相等的圖形必合同——此幾何起碼常識c和區間概念使中學生也能一下子認識2500年都無人能識的R外標準無窮大、小正數以及2300多年初等幾何一直未能識的等長卻不合同的直線段。不識這類“更無理”的數和直線段使中學幾百年解析幾何一直張冠李戴地將兩異點集誤為同一點集，從而將無窮多各異射線誤為同一線，繼而產生出病態的“高深”理論：直線段的部分點可與全部點一樣多；射線可≌其真子集;巴拿赫-塔爾斯基定理。

  [關鍵詞]貌似重合的偽二重直線段(只有重疊關係而無重合關係)；等長卻不合同的直線段；用而不知的“更無理”數；推翻百年集論和百年“R完備、封閉”論；推翻巴拿赫-塔爾斯基定理;著名數學家朱梧檟；保距變換

百年集論被譽為是“人類最偉大的創造之一”（胡作玄《引起紛爭的金蘋果》27頁，福建教育出版社，1993）。“最偉大數學家”希爾伯特斷言：任何人都不能推翻集合論。然而中國著名數學家朱梧檟教授及肖奚安、杜國平、宮寧生教授卻“超人”地洞察到“集合論中的無窮集都是自相矛盾的非集[1]”。這就是說“定義：可與其真子集對等的集稱為無窮集”中的“無窮集”是自相矛盾的非集；換言之，根本不存在可與其真子集對等的無窮集。不少人認為這是與4位數學家身份極不相稱的“怪論”。文獻[2]證明真正的無窮集均不可對等於其任何真子集，本文是[2]的姐妹篇。法制界有將無罪人判為死刑犯的悲劇，科教界有將百害而無一利的病態學說誤為“最偉大創造”的悲劇。

人類認識直線（段）已有2300多年。“科學”共識：數學，尤其是“初等數學中的初等數學”：關於最簡單、基本的圖形：直線（段）方面的中學知識絕不可能有重大錯誤，更談不上有一系列...；數學定理絕不可能被推翻。有一種很有市場的“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學發現。中央電視臺有一檔 “挑戰不可能”節目，筆者的科研是挑戰“絕對不可能”。按“橡皮幾何學”觀點直線段可彈性伸長。本文發現直線段A的一部分線段B⊂A彈性伸長成與A等長的直線段不≌A。人類由認識直線段到發現這類用而不知的彼此等長卻無合同關係的“更無理”直線段竟須歷時2300多年！但若擔心廣大高中生（應熟悉非常簡單易懂的保距變換概念）看此文後還不能立刻認識這類直線段那就是汙衊其是弱智群體了，因“反科學”的神話般“超人”發現來自於太淺顯的保距變換概念和區間概念從而可將革命道理形象直觀化。

1.幾何起碼常識c和區間概念推翻百年“R完備”論——由發現無理數到發現“更無理”的R外標準無窮小正數竟須歷時2500年

因與x∈R相異或相等的實數均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x變換為實數x′=x+△x的幾何意義可是：R軸的元點x沿R軸方向移動變為點x′=x+△x，即實數的改變可形象化為一維空間中點的位置的改變（設各點只作位置改變而沒別的改變即變位前後的點是同一點）。說R軸各元點x可保距變換為點y=x+△x=x+1>x就是說R軸可沿軸正向平移距離1變為y=x+1軸，其餘類推。直線段D=[0，1]⊂R軸各元點x沿軸平移變為點x′=x+△x=3x生成元為點x′=3x的線段[0，3]⊂x′=3x軸，各點x平移的距離是|△x|=|3x-x|；這是元點的非保距平移使D有伸長變換（相應有收縮變換）。數學的圖形可是離散的點的點集。點集：……（這不是省略號）各點可作保距或非保距平移。至少有兩元的點（數）集 A各元x保距（偏離原位）變為x′=x+△x生成的B≌A，當△x≡0時B=A≌A。A≌B≠A是說A與B是不同地點的同一圖形。極顯然：點集：.....各點任意交換位置後還是原來的點集，但點與點之間的距離變大（小）後（集的組成成員沒變但組織結構變了）就不能還是原點集了。所以不改變組成成員的變距變換必改變點集的組織結構。

銅球是銅分子的集合A，A變形為銅板是因其組織結構變了，A平移到新位置成A′還是由移動前的所有銅分子組成的集，這移動只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結構。同樣，保距變換是剛體運動從而不改變點集的組成成員和組織結構。設A=｛x｝表A各元均由x代表，變數x的變域是A。A任兩異元x與x′=x+△x之間的距離|△x|=|x-x′|>0是關於x與x′的二元函式。國內一地圖上任兩大城市間的距離是一變數ρ，這圖被人帶到國外後圖上任兩大城市間的距離還是ρ而不會變為別的變數，因國內、內外的圖是同一圖。同理，空間圖形任兩異元點間的距離絕不可隨圖形的保距變換而變為另一變數。例複平面z=x+iy的x軸：直線z=x中任兩異元點x和x+△x間的距離是|△x|（x的變域是x軸），直線z=x繞點z=0反時針旋轉θ角成直線w=zeiθ=x（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=X+iY≌x軸，直線w任兩異元點（X，Y）和（X+△X，Y+△Y）間的距離還=|△x|（x的變域是x軸）；注：由X=xcosθ與Y=xsinθ知：△X=cosθ△x，△Y=sinθ△x。

h定理1：至少有兩元的點（數）集A=｛x｝=B=｛y｝（x與y可是復變數）的必要條件是A≌B（因相等的圖形必合同），這等價於距離|△x|=|△y|。同樣，A與B可是三維空間點集，......。

證：⑴A=B≌B時A與B的元x與y必可有一一對應關係：x↔y=y（x），在此關係下y+△y中的△y=y（x+△x）-y（x），A=B≌B說明A各元x變為y（x）（x↔y（x））組成B=｛y（x）｝=A必是不改變點集的組成成員和組織結構的保距變換;由A≌B的定義A任兩異元x與x+△x間的距離是|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|=B任兩異元y與y+△y間的距離。⑵顯然點集任兩異元間的距離ρ完全由集的組成成員和各成員之間的距離決定，這兩決定因素不變ρ就絕不會變為別的變數。A任兩異元x與x′=x+△x間的距離|△x|>0是隨x與x′的不同而不同的變數，x與x′都可遍取A一切元。A={1，2，3}各元x=1，2，3。x=1與其餘元x+△x=1+△x=2與3的距離|△x|=1與2；x=2與其餘元x+△x=2+△x=1與3的距離|△x|=1與1；x=3與其餘元x+△x=3+△x=1與2的距離|△x|=2與1；所以|△x|的變域是{1，2}。至少有兩元的B=｛y｝任兩異元y與y+△y間的距離是|△y|，顯然若A=B則變數|△y|必=|△x|;同樣，A可是任何別的至少有兩元的點集，……。

同樣，A與B可是三維空間點集（此時點x=（x1，x2，x3），點y=（...）），......。證畢。

h定理2：至少有4元的A=｛x｝的任何一部分C（至少有兩元）⊂A都不可≌A。

證：C⊂A任兩異元間的距離ρ=|△x|（x的變域是C⊂A），A任兩異元間的距離是ρ′=|△x|（x的變域是A）；由ρ中x不可遍取A一切元知這兩|△x|不是同一距離函式，據h定理1C不≌A。證畢。

高中有“平面內的不變直線”知識。幾何起碼常識c顯示自有變換（函式）概念幾百年來數學在變換前後的直（射）線是否為同一直（射）線的問題上一直存在重大錯誤：將變動了的直（射）線誤為不變直（射）線。

設R所有非負元x≥0組成R+。R軸的射線x≥0即射線R+各元點x≥0沿軸非保距平移變為點x′=x+△x=0.5x≥0生成元為點x′的射線x′=0.5x≥0，中學數學一直認定變換前後的射線是同一線。其實這是違反幾何起碼常識c（重合相等的圖形必合同）的錯誤，因射線x≥0收縮成射線0.5x≥0是非保距變換使收縮前後的射線不合同從而更不相等。又例xy平面上∥y軸的直線x=3（元點（x≡3，y）中y的變域是R）可伸縮變換為直線x′=x=3（y′=ky，正常數k≠1），中學幾百年解析幾何一直認定伸縮前後的直線是同一線；其實這是違反起碼常識c的錯誤，因伸縮變換是非保距變換；中學“定義域為R的x′=kx（正常數k≠1）的值域=R”也是違反起碼常識c的幾百年錯誤，因R軸各元點x沿R軸方向非保距移動變為點x′=x+△x=kx生成元為點x′的x′=kx軸不≌R軸從而更…。

據常識c空間任一直線A沿A伸縮變換（伸縮係數k>0且≠1可取無窮多數）可變為無窮多各異直線相互疊壓在一起。而幾百年解析幾何一直只識其中的一條直線且將無窮多各異直線誤為同一線。這是因數學一直不知伸縮前後的直線若組成成員相同則組織結構不同，兩者是“同分異構”體。可見幾何學對直線和平面（直線的集合）等的認識有“以井代天”的“井底”誤區。所以“沿本身伸縮前後的直線是同一線”中的“直線”因違反起碼常識c從而確是如上述4位數學家所說“是自相矛盾的非集”。將各異直線誤為同一線自然就會將各異直線段誤為同一線段（見後文）。

h定理3：若點集A（至少有兩元）各元點p保距變為點p′（p）生成元為點p′的B≌A則A各點p到A任一點p0的距離ρ=ρ′=B各元點p′（p）到點p′0（p0）∈B的距離，即ρ′與ρ是同一距離函式。

證：設A=｛x｝≌B=｛y（x）｝，A各元點x到A任一點x0的距離ρ=|x-x0|，B各元點y（x）到點y0（x0）∈B的距離ρ′=|y（x）- y0（x0）|，由A≌B的定義ρ′=ρ；同樣，A與B可是n≥2維空間圖形，……。證畢。

設射線x≥0去掉起點x=0後就成為“缺起點”射線x>0。[3]書將R軸一切正數點x組成的射線x>0稱為正實軸。複平面z=x+iy的點z=0的對應點w=z2=0。[3]書208頁：對映w（z）=zn（自然數n≥2）將正實軸z=x>0對映成正實軸w=zn=xn>0。說射線z=x>0的象w=zn=xn>0也是射線是正確的，但說這象=原象就違反幾何起碼常識c了，因對映z↔w=zn是非保距對映使象不≌原象從而更≠原象。

   “R各數x有對應標準數xn（自然數n≥2）和x+1等”。射線x≥0即射線R+各元點x沿R+非保距平移變為點x′=x+△x=x2≥0生成元為點x′的射線x′=x2≥0；中學幾百年函式“常識”：射線x′=x2≥0與射線R+重合。其實這是違反起碼常識c的錯誤，因變換x↔x2（可將2換為正數k≠1）是非保距變換使…。保距變換將射線的起點變為新射線的起點。射線x≥0各點x≥0到該線起點x=0的距離是x≥0而射線x′=x2≥0各點x′=x2≥0到該線起點x′=0的距離卻是x2≥0，據h定理3兩射線不≌從而更...。同理，在變換x2↔x4（或x6等等）下射線x2≥0（x的變域是R+）的象：射線x4≥0等等均≠射線x2≥0。可見中學數學一直將無窮多各異射線x≥0、x2≥0、x3≥0、...、2x2≥0、3x2≥0、...誤為同一線。

正變數x≪1時x≫x2≫x3≫x4≫…>0………h

自由落體的高h≥0是由大到小取值的，同樣...。區間[0，1]表示0與1及0與1之間所有陣列成的集。線段D=[0，1]⊂射線R+各點x沿R+非保距平移變為點x′=x2生成元為點x′=x2（0≤x2≤1）的線段D′=[0，1]⊂射線x′=x2≥0覆蓋在D上（注![0，1]與[0，1]⊂射線x′≥0或R+等有根本區別）；中學幾百年函式“常識”：“D′=D”其實是違反起碼常識c和區間概念的錯誤。理由：⑴D不≌D′從而更…。所以D′是幾百年用而不知的點集！可見“=D卻不≌D的D′”中的D′=D顯然“是自相矛盾的非集”，而真正的無窮集D′≠D。同理D各點x非保距變為點x′=xk（正常數k≠1）生成元為點x′的集≠D。⑵0<…<x4<x3<x2<x<1。區間Q=[0，1]=[0，x4]∪[x4，x3]∪[x3，x2]∪[x2，x]∪[x，1]的子區間[x，1]中的變數（高等數學是研究變數的）x>0且≤1由大到小取值而由1處出發→0遍取D=[0，1]⊂R一切正數x時[x，1]的長由0→1地逐漸變長而長到包含D一切正數元x∈[x，1]，據區間概念和h式此時Q中包含D一切正數x的[x，1] 之外還有無窮多正數t∈[0，x），這類t是標準分析一直用而不知的“更無理”的標準無窮小正數t<D一切正數x∈[x，1]使R遠不可包含一切標準正數（無窮多正數t的倒數顯然也在R外），關鍵是x>0被限制只能在[x，1]⊂Q內取值。可見區間概念表明定義域為D的x′=x2≥0的值域D′中有用而不知的R外標準正數x′=x2<R所有正數——推翻百年“R完備、封閉”論；所以D′中有元點x′=x2的位置需用R外數表示。否定無理數使數學自相矛盾，否定“更無理”數使初等數學出現違反起碼常識c和區間概念的尖銳自相矛盾。人類由發現無理數到發現更無理數t竟須歷時2500年！但獲此發現所必需的知識僅是關於區間概念方面的中學常識。可見“R各數x有對應標準數xn且R含一切標準正數”中的R因違反區間概念和...從而確“是自相矛盾的非集”。詳論見文[4]，但[4]的某些論據應改為本文的論據。

以上說明對射（直）線(無窮集)的認識一直存在極重大缺陷和錯誤。

 2.區間概念讓用而不知的R外標準無窮大數一下子暴露出來——推翻巴拿赫-塔爾斯基定理

射線x≥1與射線x′=x+1≥1有共同的起點。射線x≥0即射線R+有子部射線s（⊂R+）：x≥1（由R+一切≥1的元x≥1組成），射線x≥0（x+1≥1）沿R軸正向平移距離1變為≌R+的射線s′：x′=x+1≥1（△x′=△x）；射線x≥1與射線x+1≥1重合嗎？流傳幾百年使世人深信不疑的中學“s=s′”其實是將兩異射線誤為同一線。理由：⑴據h定理2射線R+的真子集s⊂R+不可≌R+——說明≌R+的s′不可是s⊂R+。⑵s⊂R+任兩異元間的距離是|△x|（x的變域是s⊂R+）而s′≌R+任兩異元x′與x′+△x′間的距離是|△x′|=|△x|（x的變域是R+）≠前|△x|，據h定理1s≠s′。⑶射線s⊂R+各點x≥1到該線起點x=1的距離ρ=x-1≥0（x≥1的變域是s⊂R+)，射線s′各點x′=x+1≥1到該線起點x′=1的距離ρ′=x+1-1=x≥0（x≥0的變域是R+)，因ρ′≠ρ故據h定理3s不≌s′從而更≠s′。同理易證射線s：x≥1沿R軸負向平移距離1變為射線x-1≥0不能與R+即射線x≥0重合。

中學幾百年“～R+的s′=s⊂R+”錯誤導致有“射線可≌其真子集”這一違反合同圖形概念的病態認識，進而使康脫推出病態的“射線的部分點可與全部點一樣多”。

對R（包含一切已知正數）各正數元x>0均有對應標準數x′=x+1>x等等，均有區間[0，x]。區間[0，x]∪（x，x′=x+1]的子區間[0，x]中的x>0由小到大遍取R一切正數x時[0，x]就長到包含R一切正數x，極顯然：據區間概念在各[0，x]（x>0遍取R一切正數）之外還有“更無理”無窮大標準正數x′=x+1大於R一切正數x∈[0，x]。這表明射線s′：x′=x+1≥1中有大於R+一切元的元點x′——s不≌s′從而更≠s′的原因。所以僅由區間概念就可知射線A沿A正向平移非0距離變成的射線B≌A中有元點“更無理”地突破了A的“框框”而在A外使B≌A不可是A的真子集。否定“更無理”數使數學出現違反保距變換概念和區間概念的重大自相矛盾。所以“對加法封閉的R”中的R確“是自相矛盾的非集”而真正的無窮集R對加法不封閉。

x軸可伸縮成x′=x+△x=kx（正常數k≠1）軸疊壓在x軸上。由-1≤x≤1得-2≤2x≤2。直線段A=｛x｝=[-2，2]⊂x軸的一部分線段B=｛x｝=[-1，1]⊂x軸各元點x變為點x+△x=x′=2x（x↔x′=2x）生成元為點x′的直線段A′(～B⊂A)=｛x′=2x｝=[-2，2]⊂x′=2x軸疊壓線上段A（B）=[-2，2]⊂x軸上即線段A的一部分線段B⊂A彈性伸長成與A等長的直線段A′。中學幾百年“A=A′≌A′即定義域為A的x′=2x的值域=A”其實是被偽二重線段迷惑，真相是：-2≤x≤2中x的變域是A=[-2，2]⊂x軸，但-2≤2x≤2（x的變域是B⊂A）中x′=2x的變域≠A。理由：⑴由x軸≠x′軸可知A=[-2，2]⊂x軸與A′⊂x′軸不是同一線段，正如張三的左手與李四的左手不是同一手一樣。⑵A=｛x｝任兩異元點間的距離是|△x|>0，而A′=｛x′=2x｝（△x′=2△x）任兩異元間的距離是|△x′|=|2△x|>|△x|，據h定理1A′不≌A從而更≠A。⑶保距變換將直線段U的中心點變為新線段V≌U的中心點。A=[-2，2]⊂x軸各元點x到A的中心x=0的距離是|x|而A′=[-2，2]⊂x′=2x軸各元點x′=2x到A′的中心x′=0的距離是|x′|=|2x|≠|x|；據h定理3A不≌A′從而更≠A′。所以解析幾何一直張冠李戴地將A′誤為A。據h定理課本上類似這樣將兩不合同的線段A′～B和AB誤為同一線段搞錯一次函式的值域的幾百年重大錯誤比比皆是——使康脫推出病態的“直線段的部分點可與全部點一樣多”；詳論見[5]和[2]。所以真正的無窮集均不可對等於其任何真子集。

z=x+iy面可伸展成w=f（z）=x+i2y=u+iv平面疊壓在z面上（非保距變換）。數學一直認定w面=z面。其實這是肉眼直觀錯覺。z面任兩異元點z與z+△z（△z =△x+i△y）間的距離是|△z|>0而w面任兩異元點間的距離是|△w|（△w=△x+i2△y）≠|△z|。據h定理1z面不≌w面從而更…。同理在非保距變換：點（x,y）↔點（X,Y）=（2x,3y）下，元為點（x,y）的xy平面的象：XY平面≠xy面。同理複變函式論中的：某非保距變換...將z平面變為自己；其實是將兩異面誤為同一面。...。幾何學有一病態的巴拿赫-塔爾斯基定理，據此定理可推出“一顆豌豆可變成碩大無比的太陽”；據h定理1、2、3可證此“高深莫測”的“定理”的癥結是將“自相矛盾的非集[1]”誤為無窮集，從而將偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形。

3.將“非常高深理論”還原為非常樸實科學常識勢必能大大減輕學生學習負擔和縮短學制

學習上不能滿足於只知結論不懂原理的低層次淺薄。傅種孫：“有多邊形於此,截去一角所餘必不與原形等積。試問何以知其然？答道‘全體大於部分’。區區6字就解決了。事實上問題並不是這樣簡單，須知希爾伯特費十數頁的篇幅才把它解決的。”（《數學通報》1962/11，25頁）——可見“全體大於部分”的正確性使希爾伯特費十數頁的篇幅才能解決的問題只用區區6字就解決了。本來根據連小學生也一看就知的非常樸實的幾何常識就能證明的小學數學題卻要“故弄玄虛”地變為需據“非常高深理論”費十數頁才能證明的大學數學題，這是典型的化簡為繁、化清為濁。數學的證明中有不少類似這樣化簡為繁的例子（例對隱函式存在定理的證明）。這勢必大大增加學生的學習負擔（使“減負”成空話）和不得不延長學制。產生出遠遠脫離實際從而對經濟建設和加強國防毫無用處的“高深莫測”“數學”的癥結是對數與形的認識有驚人淺薄和極重大錯誤；“深入才能淺出，淺入就只能深出。”“假傳萬卷書，真傳一句話。”“大道至簡至易”，小道至繁至難。詳論見[4]。

4.結束語

    “區區6字就能解決”變成“費十數頁才能解決”現象說明百多年集論百多年來浪費了億萬學生（包括物理、哲學、邏輯學專業的學生）大量寶貴時間（“時間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學費。育人課本的重大錯誤造成的重大經濟損失一點也不亞於經濟建設的重大錯誤造成的經濟損失，是否及時糾正與每一人的切身利益息息相關。用h定理檢驗知幾何學2300年來一直將無窮多各種各類的偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形從而陷入以井代天和張冠李戴的“井底蛙”誤區；不識這類比虛數更“虛”的偽合同圖形使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態理論。破除迷信、解放思想、實事求是才能創造2千載難逢的神話般世界奇蹟使數學發生革命飛躍：從“井底”一下子躍出進入到認識“更無理”的數和圖形的時代從而不再被蒙在“井”裡。

              參考文獻

[1]朱梧檟、肖奚安、杜國平、宮寧生。關於無窮集合概念的不相容性問題的研究[J]，南京郵電大學學報(自然版)，2006（6）。

 [2]黃小寧。憑中學數學常識發現數學課本一系列重大錯誤——讓中學生也能一下子認識2300年都無人能識的直線段[J]，數理化解題研究，2016（24）:19。

[3]西安交通大學高等數學教研室。工程數學：複變函式（第4版）[M]，北京：高等教育出版社,1996。

[4]黃小寧。著名數學家朱梧檟的發現揭示課本有一系列重大錯誤——發現最小、大正數推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題[J]，科技視界，2014（10）：70。

[5]黃小寧。不等式、集合、幾何起碼常識凸顯課本一系列重大錯誤——讓2300年都無人能識的直線段一下子暴露出來[J]，數學學習與研究，2016（5）:151。 

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