蒙特卡羅方法概述

蒙特卡羅方法又稱統計模擬法、隨機抽樣技術，是一種隨機模擬方法，以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯絡，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象徵性地表明這一方法的概率統計特徵，故借用賭城蒙特卡羅命名。

通俗的講：
蒙特卡羅演算法：取樣越多，越近似最優解

舉個例子：假如筐裡有100個蘋果，閉眼拿1個，挑出最大的。於是我隨機拿1個，再隨機拿1個跟它比，留下大的，再隨機拿1個……每拿一次，留下的蘋果都至少不比上次的小。拿的次數越多，挑出的蘋果就越大，但我除非拿100次，否則無法肯定挑出了最大的。這個挑蘋果的演算法，就屬於蒙特卡羅演算法——儘量找好的，但不保證是最好的。
 

【例】用蒙特卡洛模擬法求圓周率pi
如圖，紅色線條為平面上圓心在原點的單位圓，圓的面積為pi，黑色線條構成邊長為2的正方形

設相互獨立的隨機變數X，Y均服從[-1,1]上的均勻分佈，則(X,Y)服從{-1≤x≤1, -1≤y≤1}上的二元均勻分佈（即圖中正方形區域上的二元均勻分佈），記事件A = {x^2+y^2≤1}，則A事件發生的概率等於單位圓面積除以邊長為2的正方形的面積，即P(A) = pi/4。

可得圓周率pi = 4P(A). 而P(A)可以通過蒙特卡洛模擬法求得，在圖1中正方形內隨機投點（即橫座標X和縱座標Y都是[-1,1]上均勻分佈的隨機數），落在單位圓內的點的個數m與點的總數n的比值m/n可以作為A事件的概率P(A)的近似，隨著投點總數的增加，m/n會越來越接近於P(A)，從而可以得到逐漸接近於pi的模擬值
MATLAB程式碼

    %總的實驗次數  
    n = input('請輸入n:');  
    %落在圓中點的次數  
    m = 0;  
    %使用的圓的半徑  
    a = 2;  
    %迴圈實驗  
    for i = 1:n  
        x = rand * a / 2;  %產生隨機數
        y = rand * a / 2;  
        if (x^2 + y^2 <= (a/2)^2)  
            m = m + 1;  
        end  
    end  
    %顯示結果  
    fprintf('當總實驗次數n = %d時計算出來的圓周率:Pi = %d\n'
 
,n, 4 * m / n);  

C

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>

int main()
{
    unsigned long i;
    unsigned long m;
    const unsigned long N=100000000;
    double x,y,pi;
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(i=0,m=0;i<N;i++)
    {
        /*x,y在區間(-1,1)*/
        x=2.0*rand()/RAND_MAX-1;、/*產生– 1到1之間的隨機數*/
        y=2.0*rand()/RAND_MAX-1;
        if((x*x+y*y)<=1)
        { 
              m++;
        }
    }
    pi=4.0*m/N;
    printf("%lf\n",pi);
    return 0;
}

srand((unsigned)time(NULL))作用

1、隨機數是由隨機種子根據一定的計算方法計算出來的數值。所以，只要計算方法一定，隨機種子一定，那麼產生的隨機數就不會變。
2、只要使用者或第三方不設定隨機種子，那麼在預設情況下隨機種子來自系統時鐘（即定時/計數器的值）
3、建議：如果想在一個程式中生成隨機數序列，需要至多在生成隨機數之前設定一次隨機種子。 也就是隻需在主程式開始處呼叫srand((unsigned)time(NULL)); 後面直接用rand就可以了。不要在for等迴圈放置srand((unsigned)time(NULL));