本專欄將推出一系列深度學習與影象處理相關的教程文章。注重原理精講和程式碼實現。實現框架將重點選擇Tensorflow或Pytorch。本講從邏輯斯第迴歸入手，然後講解softmax分類器，最後講解多層感知器。文末提供註釋詳盡的Tensorflow程式碼實現。

邏輯斯第函式

邏輯斯第迴歸（Logistic Regression）起源於對生物學中種群數量的演變的建模。設種群數量為 $P$ ，環境能承載的最大人口數量為 $K$ ，單個生物的繁殖率為常數 $r$ ，則種群的增長率

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial P}{\partial t} = r P (1 - \frac{P}{K}) \end{matrix}

這個微分方程的解為

\begin{matrix} (2) & P (t) = \frac{P (0) \exp (r t)}{1 + P (0) (\exp (r t) - 1) / K} \end{matrix}

上式也就是邏輯斯第函式的來源，它對生物種群數量變化擬合效果較好。這個公式可以形式化為

\begin{matrix} (3) & F (t) = \frac{1}{1 + \exp (- (t - μ) / s)} \end{matrix}

其中

μ, s

為常數引數。下圖展示了邏輯斯第函式的形態：
這裡寫圖片描述

邏輯斯第函式的形態（圖片來自維基百科）

二分類——邏輯斯第迴歸

邏輯斯第迴歸本是用於解決二分類問題，之所以稱之為迴歸，是因為它解決問題的方法是對樣本對應的概率值直接建模，而這又是一個迴歸問題。

如果向量樣本 $x \in R^{m}$

x \in R^{m}

只可能屬於兩個類別

y \in {0, 1}

。邏輯斯蒂迴歸假設樣本

(x, y)

滿足這樣的概率分佈：

\begin{matrix} (4) & P (y = 1 | x) = \frac{\exp (w^{T} x + b)}{1 + \exp (w^{T} x + b)} \end{matrix}

從而

\begin{matrix} (5) & P (y = 0 | x) = \frac{1}{1 + \exp (w^{T} x + b)} \end{matrix}

其中 $w \in R^{m}$ 為待定引數向量。不難發現，式(5)與式(3)具有一致的形式。從某種程度上說，邏輯斯第迴歸是把樣本向量 $x$ 通過與向量引數 $w$ 的內積服從的概率分佈，對映到自然界中生物種群數量增長的分佈上。

建好了概率模型之後，我們還需要建立目標函式求解模型引數 $w, b$

w, b

。記

h_{w} (x) = P (Y = 1 | x)

，訓練樣本資料為

(x_{i}, y_{i})

，根據極大似然思想，似然函式為

\begin{matrix} (6) & max_{w, b} \prod_{i} h_{w} (x_{i})^{y_{i}} (1 - h_{w} (x_{i}))^{1 - y_{i}} \end{matrix}