貪心演算法：

（1）      給定n個物品，物品價值分別為P₁，P₂，…，Pn，物品重量分別W₁，W₂, …, Wn，揹包容量為M。每種物品可部分裝入到揹包中。輸出X₁，X₂，…，X_n，0<X_i<1, 使得 最大，且 <M。試設計一個演算法求解該問題，分析演算法的正確性.

解：

  設計思路：首先將n個物品按單位價值從大到小排序，每次取剩餘物品中單位價值最大的物品放入揹包，若揹包的容量足夠則放入整個物品，否則放入物品的一部分。

  最優子結構性質：

貪心選擇性：

綜上所述，該演算法具有貪心選擇性。

演算法的原始碼如下：

// Test.cpp : 定義控制檯應用程式的入口點。
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX_NUM 1000
using namespace std;

struct Goods //info of goods定義物品資訊結構體
{
    int weight;// the weight of goods重量
    int value;// the value of goods價值
    double ValPerWei;// value per weight權重
    double load; //物品裝入揹包的部分的係數（例如上圖中物品全部裝入則load為1，裝入10/20則load為0.5）
};
int cmp( Goods const &a, Goods const &b)//定義sort函式的比較函式
{
    if(a.ValPerWei<b.ValPerWei) return 0;
    else return 1;
}
void Greedy(Goods g[],int good_num, int content)//貪心演算法
{
    for(int i=0; i<good_num; i++)
    {
        if(content>g[i].weight)//如果揹包足夠裝下整個物品
        {
            content-=g[i].weight;
            g[i].load=1;
        }
        else if(content>0){//如果揹包不足以裝下整個物品
            g[i].load=(double)content/g[i].weight;//計算物品裝入揹包的部分
            content=0;//揹包容量置0
            return;//程式結束，返回
        }
    }
}
int main()
{
    int goods_num;
    int bagvol;
    double total_value=0;
    double total_weight=0;
	Goods *G;
    cout<<"請輸入揹包的容量:"<<endl;
    cin>>bagvol;
    cout<<"請輸入商品的種類:"<<endl;
    cin>>goods_num;
   // Goods G[goods_num+1];
	G= new Goods[goods_num+1];
    cout<<"請輸入商品的重量和價值:"<<endl;
    for(int i=0; i<goods_num; i++)
    {
        cin>>G[i].weight>>G[i].value;//輸入重量價值
        G[i].ValPerWei=(double)G[i].value/G[i].weight;//計算權重
        G[i].load=0;//load置0
    }

    sort (G,G+goods_num,cmp);//sort by ValPerWei

    Greedy(G,goods_num,bagvol);
    for(int i=0;i<goods_num;i++)//output the info of goods
    {
        if(G[i].load==0.0)break;//如果檢測到物品未被裝入揹包，則推出迴圈

        total_value+=(G[i].value*G[i].load);//裝入揹包的物品總價值
        total_weight+=(G[i].weight*G[i].load);//裝入揹包的物品總重量
    }
    cout<<"揹包容量為: "<<bagvol<<endl;//輸出揹包容量
    cout<<"裝入物品的總重量為: "<<total_weight<<endl;//輸出裝入物品的總重量
    cout<<"裝入物品的最大價值為: "<<total_value<<endl;//輸出裝入物品的總價值
	return 0;

}