【CG物理模擬系列】流體模擬--粒子法之MPS法(理論)
MPS法
前面的文章裡我們講過SPH曾是為了解決壓縮性流體問題而提出的方法，與之相對，這一篇來說說用粒子法處理非壓縮性流體的研究方法--Moving Particle Semi-implicit (MPS)法[1]。 MPS法中匯入了粒子數密度這一概念，通過隱式方法求解泊松方程，來使得這個密度保持一定。經此處理，流體在整體上便具備了非壓縮性。這個方法由於只有一部分使用了隱式方法求解，所以屬於Semi-implicit。
非壓縮性流體的支配方程
與SPH一樣，也用非壓縮流體的支配方程(Navier-Stokes方程)來描述流體物質，方程如下.
其中，
是流體的速度，
是液體密度，
指外力。
粒子間相互作用模型
MPS法中，梯度，擴散，laplacian等微分運算元，是以粒子間相互作用模型為基礎進行離散化計算的。
首先加權函式
的計算如下.
這裡，
是粒子間的距離，
指代有效半徑。這個公式表示，相互作用僅發生在粒子間距小於的情況下。為了保持流體的非壓縮性，使用加權函式，按照如下的方式定義粒子數密度。
這裡，
指代粒子
和其臨近粒子
的位置向量。另外，我們稱粒子數密度的初始值
為初期粒子數密度。
由於非壓縮性流體的密度是保持一定的。 在MPS法中，通過使各粒子的粒子數密度
變成來實現這一特性。
根據粒子間相互作用模型，梯度，擴散，発散，laplacian的離散化如下.
- 梯度：根據粒子的位置得到梯度向量的演算。
這裡，
是次元數，是初期粒子數密度. - 擴散：
- laplacian：把粒子的變數(這裡指速度，圧力等物理量)，
根據加權函式的分佈，分配到臨近的粒子的演算。
其中，
的計算如下
MPS法中粒子位置的更新
Navier-Stokes方程(質量守恆和動量守恆)的離散化表示如下。
腳標指相應物理量的級數(number of steps)。MPS法中，使用
值，計算隱式圧力梯度項。 粘性項和重力項則用顯式方法計算。
首先，我們計算粘性項和重力項，獲得粒子臨時速度
，臨時位置
。
然後通過如下方式離散化粘性項
。
這裡把粒子位置
的粒子數密度表示成
。
和上述粘性項類似，離散化等式右邊，可以得到關於
的線性系統。
A是對稱稀疏矩陣，於是可通過不完全喬勒斯基分解共軛梯度(Incomplete Cholesky Decomposition Conjugate Gradient method)等方法解得。再從得到的中，求解
和
。
計算演算法
MPS法按照如下順序進行水流模擬。
- 設定水流的初期條件
- 顯式方法計算臨時速度的位置
- 計算粒子數密度
- 求解圧力的泊松方程
- 根據圧力梯度項修正速度的位置
- 返回步驟2
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