題目有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。基本思路這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：


這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的揹包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的揹包中”，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。優化空間複雜度以上方法的時間和空間複雜度均為(V N)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到(N)1。這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的揹包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的揹包中”，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。優化空間複雜度以上方法的時間和空間複雜度均為(V N)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到(N)。

題目描述：

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？

根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，

一個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另一個是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在這裡，

 f[i-1,j]表示我有一個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]表示我有一個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]就是指單元格b6,值為9，Pi指的是a物品的價值，即6

由於f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包

#include <stdio.h>
#define N 7
#define S 15
typedef struct 
{ 
	    int s;
		int n; 
		int job;
}KNAPTP;



int knap(int s,int n);
int w[N+1] = {0,1,4,3,4,5,2,7};
void main()
{ 

		if (knap(S,N)) 

			printf("0K!\n" );
		else 
			printf( "N0!\n" );
}
		
		int knap( int s,int n )
		{ 
				KNAPTP stack[100],x; 
				int top, k, rep; 
				x.s =s; x.n =n; 
				x.job = 0; 
				top = 1; stack[top] = x;
				k = 0;
				
				while ( top>0 && k == 0 )  
				{ 
					x = stack[top];
						rep = 1;
						while ( !k && rep ) 
						{ 
							if( x.s==0 ) k = 1; /*已求得一組解*/ 
								else if ( x.s<0 || x.n<=0 ) rep = 0;
								else { 
									x.s = x.s - w[x.n--] ;
									x.job=1;
								stack[++top] = x;
							} 
						} 
						
						if ( !k ) 
						{ 
							rep = 1;
								while ( top >= 1 && rep)
								{ 
									x = stack[top--]; 
										if ( x.job==1)
										{ 
											x.s+=w[x.n + 1];
											x.job = 2;
											stack[++top] = x; 
											rep = 0 ;
										} 
								} 
						} 
				} 
				if (k)
				{   
					/*輸出一組解*/ 
						while ( top >= 1 ) 
						{ 
							x = stack[top--]; 
							if ( x.job == 1 ) 
								printf ("%d\n",w[x.n+1] );
						} 
				} 
				return k;
		}