二叉樹的概念

在計算機領域，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的結構。通常子樹被稱為左子樹和右子樹。

二叉樹的特例：

滿二叉樹
滿二叉樹是完全二叉樹的特例。

• 所有葉節點必須在同一層上
• 除了葉子節點的所有節點都有兩個子節點

完全二叉樹
完全二叉樹可以看成是滿二叉樹的最後一行右側部分連續缺失。（最大堆和最小堆就是完全二叉樹）

平衡二叉樹

對於任何一個節點，左樹和右樹的絕對值差不超過1

二叉樹遍歷

二叉樹的遍歷主要有深度優先和廣度優先兩種。深度優先又包含前序遍歷，中序遍歷和後序遍歷。個有個的應用場景

以如下例子說明

前序遍歷

首先遍歷根節點，然後是根節點的左側節點，然後繼續遍歷左側節點的左側節點,…一直到最左邊的葉節點。然後後退一層，訪問右節點，然後繼續後退一層。
簡單來說就是先根節點，然後左節點，最後右節點。
A B C D E F G
除了採用遞迴的辦法，前序遍歷還可以使用棧實現。

1. 訪問結點P，並將結點P入棧;
2. 判斷結點P的左孩子是否為空，若為空，則取棧頂結點並進行出棧操作，並將棧頂結點的右孩子置為當前的結點P，迴圈至1);若不為空，則將P的左孩子置為當前的結點P;
3. 直到P為NULL並且棧為空，則遍歷結束。

中序遍歷

從根節點開始找，如果根節點有左側節點，就將尋找的指標向左側移動。
首先是左節點，然後是根節點，最後是右節點
其實反過來更好理解。如果有下列兩者之一情況，任何一個右節點都不能被遍歷

1. 對應父節點沒有被遍歷
2. 對應的左節點沒有被遍歷
   C B D A E G F
   注意，如果有多個節點符合被遍歷的條件，離最後一個遍歷點最近的點先被遍歷。

非遞迴實現方法如下

1. 對於節點P,若其左孩子不為空，則將P入棧並將P的左孩子置為當前的P，然後對當前結點P再進行相同的處理；
2. 若其左孩子為空，則取棧頂元素並進行出棧操作，訪問該棧頂結點，然後將當前的P置為棧頂結點的右孩子；
3. 直到P為NULL並且棧為空則遍歷結束。

二叉查詢樹的中序遍歷就是一個遞增序列

後序遍歷

首先是左節點，然後是右節點，最後是根節點
和上面的道理類似。
C D B G F E A

後續遍歷的非遞迴實現是最複雜的。
對於任一結點P，將其入棧，然後沿其左子樹一直往下搜尋，直到搜尋到沒有左孩子的結點，此時該結點出現在棧頂，但是此時不能將其出棧並訪問， 因此其右孩子還為被訪問。所以接下來按照相同的規則對其右子樹進行相同的處理，當訪問完其右孩子時，該結點又出現在棧頂，此時可以將其出棧並訪問。這樣就 保證了正確的訪問順序。可以看出，在這個過程中，每個結點都兩次出現在棧頂，只有在第二次出現在棧頂時，才能訪問它。因此需要多設定一個變數標識該結點是 否是第一次出現在棧頂。

後序遍歷保證在操作某個節點時，肯定已經操作過其兩個子節點，可以用於二叉樹的節點刪除

廣度優先遍歷

廣度優先遍歷也被成為層次遍歷，使用佇列實現。

• 從佇列頭取出節點P，訪問節點P，如果其有子節點，將左節點和右節點先後入隊。
  廣度優先遍歷常被用於序列化二叉樹，優點是不需要讀取完整序列就可以開始重構過程。

B-樹

首先明確一點，B-樹不讀做B減樹。中間的是連字元。這個B代表平衡的意思,但是B-樹不是平衡二叉樹。

B-tree被成為多路查詢樹，相對於二叉樹，B-tree更加矮胖。這樣做的原因是因為物理實現磁碟IO限制，矮胖有助於減少磁碟讀取索引的io次數。

B+樹

B+樹在B-樹的基礎上，限制所有資料必須儲存在葉節點，這樣之後，就可以為葉節點新增一個連結串列。這讓我門按照索引進行快速範圍讀取更加容易。

• mysql InnoDB引擎使用B+樹作為預設索引

B*樹

增加了只想相鄰兄弟節點的指標。
這是為了樹的分裂的需要。當一個節點滿後，B+樹會訪問自己的父節點，然後在父節點上新建一個與自己相鄰子節點，最後將自己的一半資料轉移到新節點上。
B*樹則不會優先創在新節點。利用自己指向兄弟節點的指標，他會首先嚐試將自己的資料轉移到自己的兄弟節點上。於是，他對樹空間利用率較高。

• B*是oracle中最長用到的索引

二叉搜尋樹

（1）若左子樹非空，則左子樹的所有節點小於他的根節點
（2）若右子樹非空，則右子樹的所有節點大於他的根節點
（3）左右子樹也都是二叉排序樹
顯然排序二叉樹可以用作排序，也可以用作快速查詢和插入。一般來講排序演算法的時間複雜度為Nlog2N
查詢演算法的時間複雜度為log2N

最大堆和最小堆

最大堆最小堆是完全二叉樹，所以底層可以採用陣列實現。
最大堆和最小堆常用語實現優先佇列。
最大堆和最小堆用於堆排序。

AVL樹

自平衡二叉查詢樹。查詢、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O(logn)。增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為高度平衡樹。

紅黑樹(RBTree)

紅黑樹是每個節點都帶有顏色屬性的二叉查詢樹，顏色或紅色或黑色。在二叉查詢樹強制一般要求以外，對於任何有效的紅黑樹我們增加了如下的額外要求:

1. 節點是紅色或黑色。
2. 根節點是黑色。
3. 每個葉節點（NIL節點，空節點）是黑色的。
4. 每個紅色節點的兩個子節點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色節點)
5. 從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。
   適用於資料量小的需要排序的資料集（樹的高度比較高，資料量過大需要頻繁讀取磁碟）

• linux內部epoll的實現
• java中的TreeMap和TreeSet

AVL樹和RBT的比較

1. 如果插入一個node引起了樹的不平衡，AVL和RB-Tree都是最多隻需要2次旋轉操作，即兩者都是O(1)；但是在刪除node引起樹的不平衡時，最壞情況下，AVL需要維護從被刪node到root這條路徑上所有node的平衡性，因此需要旋轉的量級O(logN)，而RB-Tree最多隻需3次旋轉，只需要O(1)的複雜度。

2. 其次，AVL的結構相較RB-Tree來說更為平衡，在插入和刪除node更容易引起Tree的unbalance，因此在大量資料需要插入或者刪除時，AVL需要rebalance的頻率會更高。因此，RB-Tree在需要大量插入和刪除node的場景下，效率更高。自然，由於AVL高度平衡，因此AVL的search效率更高。

3. map的實現只是折衷了兩者在search、insert以及delete下的效率。總體來說，RB-tree的統計效能是高於AVL的。

LSM樹

日誌結構的合併樹（LSM-tree）是一種基於硬碟的資料結構，與B-tree相比，能顯著地減少硬碟磁碟臂的開銷，並能在較長的時間提供對檔案的高速插入（刪除）。然而LSM-tree在某些情況下，特別是在查詢需要快速響應時效能不佳。通常LSM-tree適用於索引插入比檢索更頻繁的應用系統。
HBase和RocksDB都採用了這種實際，在犧牲讀效能的前提下增加了寫入效能。