求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j。

Input

第一行兩個數n,m。

Output

　　一個整數表示答案mod 19940417的值

Sample Input

3 4

Sample Output

1

樣例說明

　　答案為(3 mod 1)(4 mod 2)+(3 mod 1) (4 mod 3)+(3 mod 1) * (4 mod 4) + (3 mod 2) * (4 mod 1) + (3 mod 2) * (4 mod 3) + (3 mod 2) * (4 mod 4) + (3 mod 3) * (4 mod 1) + (3 mod 3) * (4 mod 2) + (3 mod 3) * (4 mod 4) = 1

資料規模和約定

　　對於100%的資料n,m<=10^9。

樸素演算法O（n*m）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int Mod = 19940417;
const int Maxn = 1e9;
int n,m;
int main(void)
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin
 
>>n>>m;
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x = n % i;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i==j)continue;
            int y = m % j;
            ans = (ans+(long long)x*y)%Mod;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

進一步思考

首先想到，要對式子進行一定的代數變形。

對於n%i=n−⌊ni⌋∗i

程式碼:

C++

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#define inf 1000000000
#define mod 19940417
#define ine 3323403
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
ll n,m,ans;
ll sum(ll a,ll b)
{
    return (b-a+1)*(a+b)/2%mod;
}
ll sum2(ll x)
{
    return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*ine%mod;
}
ll cal(ll n)
{
    ll tmp=0;
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        tmp=(tmp+n*(j-i+1)%mod-sum(i,j)*(n/i))%mod;
    }
    return (tmp+mod)%mod;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    ans=cal(n)*cal(m)%mod;
    if(n>m)swap(n,m);
    ll s1,s2,s3;
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        s1=n*m%mod*(j-i+1)%mod;
        s2=(n/i)*(m/i)%mod*(sum2(j)-sum2(i-1)+mod)%mod;
        s3=(n/i*m+m/i*n)%mod*sum(i,j)%mod;
        ans=(ans-(s1+s2-s3)%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#define inf 1000000000
#define mod 19940417
#define ine 3323403
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
ll n,m,ans;
ll sum(ll a,ll b)
{
    return (b-a+1)*(a+b)/2%mod;
}
ll sum2(ll x)
{
    return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*ine%mod;
}
ll cal(ll n)
{
    ll tmp=0;
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        tmp=(tmp+n*(j-i+1)%mod-sum(i,j)*(n/i))%mod;
    }
    return (tmp+mod)%mod;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    ans=cal(n)*cal(m)%mod;
    if(n>m)swap(n,m);
    ll s1,s2,s3;
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        s1=n*m%mod*(j-i+1)%mod;
        s2=(n/i)*(m/i)%mod*(sum2(j)-sum2(i-1)+mod)%mod;
        s3=(n/i*m+m/i*n)%mod*sum(i,j)%mod;
        ans=(ans-(s1+s2-s3)%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

Latex忽略程式碼中的空格
不等號: \neq
空格 : \quad
換行: \
向下取整:\lfloor{ }\rfloor