之前在查treap樹的時候，偶然在知乎看到一篇比treap樹還簡單的替罪羊樹的介紹，傳送門：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21263304，大神還是寫的很好的，有興趣的可以去看下，當然也可以看我的總結。

一 、平衡條件

  左子樹大小 < alpha * 根大小 並且 右子樹大小 < alpha * 根大小

 二、 替罪羊樹總結起來就兩個操作：

  1.拉平，當樹不滿足平衡條件時，把樹伸展成連結串列。

  2.重構，遞迴的選取連結串列的中點作為根節點重建平衡樹，這樣得到的幾乎是完美的平衡二叉樹。

三、基本操作

  0.結構

struct scapegoat{
  scapegoat* left;
  scapegoat* right;
  int val,size;
  bool real;
  scapegoat(int v,int s,bool r):val(v),size(s),real(r){left = right = NULL;}
};
 

  1.插入

  先正常的插入到二叉搜尋樹中，再回溯的過程中，判斷是否違背了平衡條件，如果違背了，拉平並重構該樹。

tree insert(tree t,int val){
  if(t==NULL){
    t = new scapegoat(val,1,1);
    return t;
  }
  bool r = 0;(t->size)++;
  if(val > t->val){
    t->right = insert(t->right,val);
    if(t->right->size > alpha*t->size+10){r=1;}
  }
  else if(val < t->val){
    t->left = insert(t->left,val);
    if(t->left->size > alpha*t->size+10){r=1;}
  }
  if(r){
    qu.clear();tree2list(t);
    t = rebuild(0,qu.size()-1);
  }
  return t;
}
 

  2.刪除

  採用lazy刪除，刪除的給打上一個標記，每次重構都把lazy點刪掉。

bool remove(tree t,int val){
  if(t==NULL)return 0;
  bool c;
  if(val>t->val)c = remove(t->right,val);
  else if(val<t->val)c = remove(t->left,val);
  else{
    if(t->real){t->real=0;c=1;}
    else{c=0;}
  }
  if(c)(t->size)--;
  return c;
}
 

  總體來說思想很簡單，不過程式設計還是有一定複雜度的，更treap樹差不太多，效能的話據說是平均O（log(n))的，不過我的程式碼貌似重構的很頻繁，不知道是不是寫錯了。

  現在研究的不深，之後有機會再補充。 

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

struct scapegoat{
  scapegoat* left;
  scapegoat* right;
  int val,size;//值域與儲存真實點個數的size域
  bool real;//該點是否是真實的
  scapegoat(int v,int s,bool r):val(v),size(s),real(r){left = right = NULL;}
}; 
typedef scapegoat* tree;
const int alpha = 0.55;//權重因子
vector<tree> qu;
void tree2list(tree t){//拉平樹
  if(t==NULL)return;
  if(t->left)tree2list(t->left);
  if(t->real)qu.push_back(t);
  if(t->right)tree2list(t->right);
  if(!t->real)delete t;
}

tree rebuild(int left,int right){//重構樹
  if(left > right)return NULL;
  int m = (left+right)/2;
  tree t = qu[m];
  t->size = right-left+1;
  t->left = rebuild(left,m-1);
  t->right = rebuild(m+1,right);
  return t;
}

tree insert(tree t,int val){
  if(t==NULL){
    t = new scapegoat(val,1,1);
    return t;
  }
  bool r = 0;(t->size)++;
  if(val > t->val){
    t->right = insert(t->right,val);
    if(t->right->size > alpha*t->size+10){r=1;}
  }
  else if(val < t->val){
    t->left = insert(t->left,val);
    if(t->left->size > alpha*t->size+10){r=1;}
  }
  if(r){
    cout << "dd" <<endl;
    qu.clear();tree2list(t);
    t = rebuild(0,qu.size()-1);
  }
  return t;
}

bool remove(tree t,int val){
  if(t==NULL)return 0;
  bool c;
  if(val>t->val)c = remove(t->right,val);
  else if(val<t->val)c = remove(t->left,val);
  else{
    if(t->real){t->real=0;c=1;}
    else{c=0;}
  }
  if(c)(t->size)--;
  return c;
}
void level(tree t){
  if(!t)return;
  tree now,last=t;
  queue<tree> qu1;
  qu1.push(t);
  while(qu1.size()){
    now = qu1.front();qu1.pop();
    if(now->left)qu1.push(now->left);
    if(now->right)qu1.push(now->right);
    cout << now->val << "(" << now->size << ")" << " ";
    if(now == last && qu1.size()){last = qu1.back();cout << endl;}
  }
  cout << endl;
}

int main(){
  int i;
  tree t=NULL;
  for(i=0;i<100;i++){
    t = insert(t,i);
  }
  level(t);
}