問題一

1.問題描述
假設有幾種硬幣，如1、3、5，並且數量無限。請找出能夠組成某個數目的找零所使用最少的硬幣數。

2.問題分析
動態規劃的思想，用 dp[] 存放自底向上問題的解。dp[] 大小為 amount，dp[k] = min(dp[k - coin[i]) + 1

3.Java實現

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int max = amount + 1;             
    int[] dp = new int[amount + 1];  
    //先令 dp[] 初始化為 amount + 1
 

    Arrays.fill(dp, max);  
    //當 amount = 0 時，解也是 0
    dp[0] = 0;   
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
            if (coins[j] <= i) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
    //如果 dp[amount] > amount，即還是初始化的值，說明無解
 

    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

問題二

1.問題描述
將上題中的求最小的硬幣數，改成所有的方案。即，假設有幾種硬幣，並且數量無限。請找出能夠組成某個數目的找零所有的方案數。

2.問題分析
用 dp[i, j] 表示：使用 第 1,2,…i 種面值的硬幣時，需要找金額為 j 的錢，最多可採用多少種不同的方式。
i 表示可用的硬幣種類數， j 表示 需要找回的零錢
有兩種情況：對於某種面值的硬幣，要麼使用了它，dp[i, j - coins[i]]
要麼不使用它，dp[i - 1, j]
所以，dp[i, j] = dp[i, j - coins[i]] + dp[i - 1, j]

3.Java實現

public int coinChangeWays(int[] coins, int n){
    int m = coins.length;
    int[][] dp = new int[m+1][n+1];

    //第一列 dp[i][0] 表示用coins[i]組成面額為0的錢的方案，即不需要任何貨幣，初始化為1
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        dp[i][0] = 1;
    //第一行 dp[0][j] 沒有貨幣，初始化為0
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        dp[0][i] = 0;

    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++){
            if (j - coins[i] >= 0)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]];
            else 
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
    return dp[m][n];
}

問題三

1.問題描述
將上題中硬幣無限量使用，改為每個面值只有一個硬幣。即，假設有幾種硬幣，每種硬幣只有一個。請找出能夠組成某個數目的找零所有的方案數。

題目還可以這樣，同一個意思：
給定一個有n個正整數的陣列A和一個整數sum,求選擇陣列A中部分數字和為sum的方案數。
當兩種選取方案有一個數字的下標不一樣,我們就認為是不同的組成方案。

2.問題分析
也是兩種方法：要麼加這個數，dp[i - 1, j - weight[i]]。和上題不同的只是，加上這個數，i 也要減一。
要不不加這個數，dp[i - 1, j]
所以，dp[i, j] = dp[i-1, j] + dp[i-1, j-weight[i]]

3.Java實現

public int sunWays(int[] weight, int sum) {
    int n = weight.length;
    int[][] dp = new int[n+1][sum+1];

    for (int i = 0 ; i < n ;i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int j = 1 ; j < sum ;j++) {
        dp[0][j] = 0;
    }

    for (int i = 1 ; i <= n ;i++) {
        for (int j = 0 ; j <= sum ;j++) {
            if(weight[i] <= j) 
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-weight[i]];
            else 
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
    return dp[n][sum];
}

上面的方法，dp[][]用了二維陣列， 也可以用一維陣列來節省空間。

public int sumWays(int[] weight, int sum){
    int dp[]=new int[sum+1];
    dp[0]=1;

    for(int i = 0; i < weight.length; i++){
        for(int j = sum; j >= weight[i]; j--){
           dp[j] = dp[j - weight[i]] + dp[j];
        }
    }
    return dp[sum];
}