所謂排列，是指從給定的元素序列中依次取出元素，需要考慮取出順序。比如，取出元素3, 5，因取出順序的不同，則形成的序列{3, 5}與{5, 3}是不同的排列序列。對於長度為n的元素序列取出k個元素，則共有A(n, k)種取法。所謂組合，也是從元素序列中依次取出元素，與排列不同的是不需要考慮取出順序；因此其取法數為C(n, k)。

組合

要求給出對於序列1~n 的取出k個元素的各種取法。採用DFS模擬組合時，可看做節點i與節點j(j = i+1, … , n)都相連線，然後DFS遍歷整張有向圖，程式碼實現如下：

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    if (n <= 0 || n < k) {
        return result;
    }
    List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
    dfs(n, k, 1, tmp, result);
    return result;
}

// DFS for combination
private void dfs(int n, int k, int start,
                 List<Integer> tmp, List<List<Integer>> result) {
    if (tmp.size() == k) {
        result.add(new ArrayList<Integer>(tmp));
        return;
    }
    for (int i = start; i <= n; i++) {
        tmp.add(i);
        dfs(n, k, i + 1, tmp, result);
        tmp.remove(tmp.size() - 1); // remove the last
    }
}
 

排列

DFS實現排列與組合相類似，唯一不同之處在於，節點i與其他所有節點都連線。因此，所構造的圖是一個完全連通圖。DFS實現排列如下：

public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    if (nums.length == 0) {
        return result;
    }
    List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
    dfs(nums, tmp, result);
    return result;
}

// DFS for permutation
private void dfs(int[] nums, List<Integer> tmp,
                 List<List<Integer>> result) {
    int n = nums.length;
    if (tmp.size() == n) {
        result.add(new ArrayList<>(tmp));
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // nums[i] has not been visited
        if (!tmp.contains(nums[i])) {
            tmp.add(nums[i]);
            dfs(nums, tmp, result);
            tmp.remove(tmp.size() - 1);
        }
    }
}
 

上述程式碼中，可以用一個visit陣列來標記節點是否被訪問，這樣優化將contains的時間複雜度從\(O(n)\)優化到\(O(1)\)。