素數是一類很有用的數,至今為止,沒有任何人發現素數的分佈規律,也沒有人能用一個公式計算出所有的素數。但素數的判斷和建立是有法可循的。

常用方法一:優化的列舉法(效率O(n*sqrt(n))),按照素數的定義從2-列舉到SQRT(N)。方法簡單易懂,這個用於判斷可以,但是建立的話時間過長。

int isprime(int n)
{
    for (int i=2;i<=sqrt(n);i++)
    {
        if (n%i==0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

常用方法二:篩法。(效率O(n))

篩法的意思遵循一個原則,素數i的倍數一定不是素數。

(以下為轉載)

一個簡單的篩素數的過程:n=30。

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

第 1 步過後2 4 ... 28 30這15個單元被標成false,其餘為true。

第 2 步開始:

     i=3;  由於prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]標為false.

     i=4;  由於prime[4]=false,不在繼續篩法步驟。

     i=5;  由於prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]標為false.

     i=6>sqrt(30)演算法結束。

第 3 步把prime[]值為true的下標輸出來:

     for(i=2; i<=30; i++)

     if(prime[i]) printf("%d ",i);

結果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

篩法還可以優化,於是有了方法三:優化篩法。

把所有偶數都去掉,時間複雜度進一步降低。

模板:

int prime(int a[],int n)
{
    int i,j,k,x,num,*b;
    n++;
    n/=2;
    b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)*2);
    a[0]=2;
    a[1]=3;
    num=2;
    for (i=1;i<=2*n;i++)
        b[i]=0;
    for (i=3;i<=n;i+=3)
        for (j=0;j<2;j++)
        {
            x=2*(i+j)-1;
            while (b[x]==0)
            {
                a[num++]=x;
                for (k=x;k<=2*n;k+=x)
                    b[k]=1;
            }
        }
    return num;
}

關於素數,還有一些好玩的性質:

1、哥德巴赫猜想,著名的素數問題,任何一個大於4的偶數都可以拆成2個素數。

2、孿生素數問題,差為2的素數有無窮對。

3、反證法的第一個試刀案例,歐幾里得證明了世界上沒有最大的素數,這玩意沒有最大隻有更大

4、目前人類(計算機?)算出來的最大素數為2^43112609-1,一個723W+位的數字.....

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