Ouput layer & 代價函式

網路結構

Output later 有K個神經元，有K個輸入和輸出。為了分別標記輸入和輸出，用ai∈[1,K]來表示Output layer的輸入資料，yj∈[1,K]來表示Output layer輸出點資料。每個輸入資料ai∈[1,K]和隱藏層的H個塊之間是全連線的。

輸入和輸出資料

• 每個Output layer層的輸入資料是ai=∑Hh=1whibh。
• 當使用softmax輸出函式的時候，每個Output layer層的輸出資料就為yj=eaj∑Kj′=1eaj′。
• 當使用交差熵代價函式的時候L(x,z)=−∑Kj=1zj
  lnyj ，這裡zj是各個輸出點的目標分類結果，在訓練資料中已經給出來了。

求導數

這裡要求的是代價函式對每個輸入資料的導數δi=∂L(x,z)∂ai。在反向傳播中δi會傳播給後續網路。

首先複習一下會用到的基本的微積分知識：

(uv)′=u′v+uv′ln(x)′=1x

交叉熵的導數：

對於任意一個輸出yj的導數

∂L(x,z)∂yj=∂−∑Kj′=1zj′lnyj′∂yj=−zjyj當j′≠j時，該項對於yj的微分為0。因此只需要求j′=j項時的導數此時有：∂zjlnyj∂yj=zjyj

Softmax函式的導數：

首先準備一下在計算時會反覆用到的部分：

∂

1∑Kj′=1eaj′∂

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