支援向量機簡要介紹

一些概念：

1.分隔超平面：在二維中直觀來說就是將資料集分隔開來的直線，三維中則是一個平面。觸類旁通。

2.超平面：分類的決策邊界，分佈在超平面一側的所有資料都屬於某個類別，另一側屬於另一個。

3.支援向量：離分隔超平面最近的那些點。

4.分類器（資料集）的間隔：資料集中所有點到分割面的最小間隔的兩倍。

5.目標之一：選找到離分隔超平面最近的點，確保其離分隔面的距離儘可能的遠。

6.分隔超平面的數學形式：wTx+b

7.二維平面上的點到分隔超平面的距離：任取一點A，則該點到分隔平面的法線長度：|wTA+b|/∥w∥

8.新的目標：計算w和b。為此，必須找到具有最小間隔的資料點，也即支援向量。一旦找到具有最小間隔的資料點，接著再對該間隔點最大化。數學形式可表示為：

通過拉格朗日運算元將上式化簡(雖然我並不知道到底是怎麼轉化的。。。)有:

進一步我們引入軟間隔項C（也稱為鬆弛變數），使得允許有些資料點可以處於分割面錯誤的一側，也即：

SMO演算法：用於訓練SVM

1.含義：Sequential Minimal Optimization(序列最小化)，將大優化問題分解為多個小優化問題來求解。

2.目標：求出一系列的α和b，進而計算出權重向量w來得到分隔超平面。

3.工作原理：每次迴圈中選擇兩個α進行優化處理。一旦找到一對合適的α，那麼就增大其中一個同時減小另一個。其中合適的定義是這兩個α要在間隔邊界外，且沒有進行區間和處理。

4.優化辦法：啟發式選取第二個α值，即通過最大化步長的方式來獲得第二個α值。

核函式

1.作用：將資料對映到高維空間，可以將其想象為一個介面，能把資料從某個很難處理的形式轉換成另一個較容易處理的形式，也即在高維空間中解決線性問題，等價於在低維空間中解決非線性問題。

2.核技巧: kernel trick。將內機替換成核函式的方式，單純的替換即可，無須簡化。

3.常用核函式： RBF（徑向基函式，高斯核），多項式核，線性核。

接下來的py程式碼裡面實現了簡易的純暴力smo演算法和基於啟發式的smo演算法，並測試了rbf核函式，並對手寫識別問題的分類進行了再次的考證。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
照葫蘆畫瓢完成於2017.5.11 19:55
演算法名稱 : 支援向量機
作者:
    zzt941006
"""
from numpy import *
def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat
def selectJrand(i,m):
    j = i
    while(j == i):
        j = int(random.uniform(0,m))
    return j
def clipAlpha(aj,H,L):
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    dataMatrix = mat(dataMatIn) # 100 * 2
    labelMat = mat(classLabels).transpose() # 1 * 100
    b = 0
    m,n = shape(dataMatrix)
    alphas = mat(zeros((m,1))) # 100 * 1
    iter = 0
    while (iter < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0#標誌位用於判定這一對alpha是否已經優化
        for i in range(m):
            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[i,:].T)) + b #dataMatrix[i,:]取得是矩陣中第i行的所有元素
            #multiply做的是元素間的點乘,需要兩個矩陣維度一模一樣，在此alphas,labelMat點乘後得到100 * 1 維度，轉置後得到1 * 100
            #而dataMatrix * dataMatrixp[i,:] 是整個矩陣乘以該矩陣的某一行的轉置，所以最終維度是 100 * 1
            #點乘矩陣轉置維度變為1 * 100 在跟後者進行矩陣相乘，得到一個標量（1 * 1） 維度
            #在此通過這一些列的計算獲取fXi，用來代表我們預測的類別
            Ei = fXi - float(labelMat[i])#與真實標籤的誤差計算，如果誤差很大，就可以基於此對alpha值進行優化
            if((labelMat[i] * Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i] * i > toler) and (alphas[i] > 0)):#調優檢驗
            #不在邊界上的點，且誤差很大時，可以對值進行進一步的優化
                j = selectJrand(i,m)
                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[j,:].T)) + b #隨機選取第二個alpha並計算
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy()
                alphaJold = alphas[j].copy()#要用copy方法來賦值，這樣可以讓其有新的記憶體，否則無法發現改變
                if(labelMat[i] != labelMat[j]):#邊界調整，防止alpha[j] > C 或者 < 0
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[i] + alphas[j] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L == H : print "L == H"; continue #相等則不做改變，進入下一次迴圈
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:] * dataMatrix[i,:].T - \
                      dataMatrix[j,:] * dataMatrix[j,:].T #alpha[j]的最優修改量
                if eta >= 0: print "eta >= 0"; continue;
                alphas[j] -= labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta #更新alpha[j]
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                if(abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print "j not moving enough"; continue
                alphas[i] += labelMat[j] * labelMat[i] * (alphaJold - alphas[j]) #更新alpha[i],修改量與j相同？？？ 方向相反顯然
                b1 = b - Ei - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[i,:].T - \
                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[j,:].T - \
                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[j,:] * dataMatrix[j,:].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[j]) : b  = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else : b = (b1 + b2) / 2.0 #更新常數項
                alphaPairsChanged += 1
                print "iter: %d i: %d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
        if(alphaPairsChanged == 0): iter += 1
        else : iter = 0
        print "iteration number: %d" % iter
    return b,alphas
def kernelTrans(X,A,kTup):
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0] == 'lin' : K = X * A.T
    elif kTup[0] == 'rbf':
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j]  = deltaRow * deltaRow.T
        K = exp(K/(-1 * kTup[1]**2))
    else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')
    return K
class optStruct: #自己建立一個數據結構來儲存所有重要的值，因此例項化了一個物件，不過只是作為一個數據結構來使用物件
    def __init__(self,dataMatIn,classLabels,C,toler,kTup):
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) # 誤差快取
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X,self.X[i,:],kTup) # 呼叫該函式，對矩陣K進行填充
def calcEk(oS,k):
    fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T * oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek
def selectJ(i,oS,Ei):
    maxK = -1
    maxDeltaE = 0
    Ej  = 0
    oS.eCache[i] = [1,Ei]
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #構建一個標誌位的非零表，返回非零E值所對應的alpha表
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:
            if k == i : continue
            Ek = calcEk(oS,k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE):
                maxK = k
                maxDeltaE = deltaE
                Ej = Ek
        return maxK,Ej
    else :
        j = selectJrand(i,oS.m)
        Ej = calcEk(oS,j)
    return j,Ej
def updateEk(oS,k):
    Ek = calcEk(oS,k)
    oS.eCache[k] = [1,Ek]
def innerL(i,oS):
    Ei = calcEk(oS,i)
    if((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        j,Ej = selectJ(i,oS,Ei)
        alphaIold = oS.alphas[i].copy()
        alphaJold = oS.alphas[j].copy()
        if(oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0,oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C,oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0,oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C,oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H : print "L==H";return 0
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]
        if eta >= 0 : print "eta >= 0"; return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
        updateEk(oS,j)
        if(abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
            print "j not moving enouth"; return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j] * oS.labelMat[i] * (alphaJold - oS.alphas[j])
        updateEk(oS,i)
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else: return 0
def smoP(dataMatIn,classLabels,C,toler,maxIter,kTup = ('lin',0)):
    oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler,kTup)
    iter = 0
    entireSet = True
    alphaPairsChanged = 0
    while(iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:
            for i in range(oS.m):
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print "fullSet, iter: %d i : %d,pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
            iter += 1
        else:
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs:
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print "non-bound,iter: %d i: %d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
            iter += 1
        if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop
        elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True  
        print "iteration number: %d" % iter
    return oS.b,oS.alphas
def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
    X = mat(dataArr)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m,n = shape(X)
    w = zeros((n,1))
    for i in range(m):
        w += multiply(alphas[i] * labelMat[i],X[i,:].T) #大部分alpha為零向量，因此非零向量即為支援向量
    return w
def testRbf(k1 = 1.30):
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')
    b,alphas = smoP(dataArr,labelArr,200,0.0001,10000,('rbf',k1))
    datMat = mat(dataArr)
    labelMat =mat(labelArr).transpose()
    svInd = nonzero(alphas.A > 0)[0]
    sVs = datMat[svInd]
    labelSV = labelMat[svInd]
    print "there ar %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]
    m,n = shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i  in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf',k1))
        predict = kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1
    print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m)
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')
    b,alphas = smoP(dataArr,labelArr,200,0.0001,10000,('rbf',k1))
    datMat = mat(dataArr)
    labelMat =mat(labelArr).transpose()
    svInd = nonzero(alphas.A > 0)[0]
    sVs = datMat[svInd]
    labelSV = labelMat[svInd]
    print "there ar %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]
    m,n = shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i  in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf',k1))
        predict = kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1
    print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m)
def img2vector(filename):
    returnVect = zeros((1,1024));#將32*32的二進位制影象轉化為1*1024維度的矩陣
    fr = open(filename)
    for i in range(32):
        lineStr = fr.readline()
       # print lineStr
        for j in range(32):
            returnVect[0,32*i+j] = int(lineStr[j])#第一行為0-31 第二行加在後面為32-63....直到第32行的32個數字對映為 992-1023
    return returnVect
def loadImapge(dirName):
    from os import listdir
    hwLabels = []
    trainingFileList = listdir(dirName)
    m = len(trainingFileList)
    trainingMat = zeros((m,1024))
    for i in range(m):
        fileNameStr = trainingFileList[i]
        fileStr = fileNameStr.split('_')[0]
        classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
        if classNumStr == 9:hwLabels.append(-1)
        else: hwLabels.append(1)
        trainingMat[i,:] = img2vector('%s/%s' %(dirName,fileNameStr))
    return trainingMat,hwLabels
def testDigits(kTup = ('rbf',10)):
    dataArr,labelArr = loadImages('trainingDigits')
    b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, kTup)
    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
    svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]
    sVs=datMat[svInd] 
    labelSV = labelMat[svInd];
    print "there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]
    m,n = shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
    print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)
    dataArr,labelArr = loadImages('testDigits')
    errorCount = 0
    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
    m,n = shape(datMat)
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1    
    print "the test error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)