Frequent Itemset(頻繁項集)

稱$I=\{i_1, i_2, ..., i_m\}$為項(Item)的集合，$D=\{T_1, T_2, ...,T_n\}$，$i∈[1,n]$為事務資料集(Transaction Data Itemsets)，事務$T_i$由$I$中若干項組成。

設$S$為由項組成的一個集合，$S=\{i|i∈I\}$，簡稱項集(Itemset)。包含k個項的項集稱為k-項集

$t$為一條事務, 如果$S\subseteq t$, 則稱事務$t$包含$S$。

$S$的支援度：$sup(S) = ({包含S的事務數量\over D中總的事務數量})\times 100\%$

若$S$的支援度≥給定最小支援度，稱$S$為頻繁項集(Frequent Itemset)。

例如，有交易資料庫

TID為事務編號，item為事務資料集的內容。

現在有項集$S_{}$

所以$S_1$的支援度計數為3，支援度為$3\over 5$。

如果支援度閾值小於$60\%$，那麼$S_1$就是一個頻繁項集。

Superset(超集)

若一個集合$S_2$中的每一個元素都在集合$S_{}$

接著上面的例子，

現在有項集$S_1 = \{b,c\}$，那麼它就是$\{b\}$，$\{c\}$的超集。$S_1$也是$\{a,b,c\}$等的真子集。

Max Pattern/Maximal Frequent Itemset(最大頻繁項集)

如果頻繁項集L的所有超集都是非頻繁項集，那麼稱L為最大頻繁項集或稱最大頻繁模式，記為MFI (Maximal Frequent Itemset)。

頻繁項集是最大頻繁項集的子集。最大頻繁項集中包含了頻繁項集的頻繁資訊，且通常項集的規模要小几個數量級。所以在資料集中含有較長的頻繁模式時挖掘最大頻繁項集是非常有效的手段。

綜上，最大頻繁項集是各頻繁k項集中符合無超集條件的頻繁項集。

接著上面的例子，

現在有項集$S_1 = \{b,c\}$，且有支援度閾值$＝60\%$。

那麼$S_1$就是一個頻繁項集，那麼我們來看看它的超集。

由此可見，它們的支援度都小於$60\%$，所以它們都不是頻繁項集。

所以$S_1$的所有超集都不是頻繁項集，則它是最大頻繁項集。

close pattern(閉合頻繁項集)

所謂閉項集，就是指一個項集X，它的**直接超集（最小的嚴格超集）**的支援度計數都不等於它本身的支援度計數。如果閉項集同時是頻繁的，也就是它的支援度大於等於最小支援度閾值，那它就稱為閉頻繁項集。

接著上面的例子，

因為項集{b,c}出現在TID為1,2,3的事務中，所以{b,c}的支援度計數為3。而{b,c}的直接超集：{a,b,c}的支援度計數為2，都不等於{b,c}的支援度計數3，所以{b,c}為閉項集，如果支援度閾值為40%，則{b,c}也為閉頻繁項集。

項集{a,b}出現在TID為1,2的事務中，其支援度計數為2。而它的直接超集{a,b,c}支援度計數也為2，所以{a,b}不是閉項集。