首先介紹3種表示複雜度的符號：

1. Tight 上下界，f = tight(g)表示當輸入大於某個整數時，存在常數c1和c2，使得 c1*g < f < c2*g ;
2. Lower 下界， f = Lower(g)表示當n足夠大的時候，存在c，使得 f<g *c;
3. Upper上界, f = upper(g) 表示你足夠大的時候，存在c使得 f> g * c;

演算法複雜度分析就是求g的過程。通常來講，演算法的上界複雜度才有意義，即第二種，它表現了演算法的優劣。

遞迴演算法的複雜度求法不同於普通的演算法，以歸併排序為例，它的複雜度可以表示如下：

T(n) = 2 * T(n/2) +Lower(n)

它表示規模為n的演算法所需時間是規模為n/2的兩倍加上對整個陣列進行掃描的時間。

最簡單的求解演算法是替換法，它由兩個步驟組成：

1. 猜測複雜度函式；
2. 用猜測的函式替換遞迴表示式中的複雜度函式，並推導等式是否成立；

以上面的遞迴表示式為例，我們猜測複雜度為g=nlg(n)，這也意味著當n最夠大的時候f< n*lg(n)*c

現在用這個表示式替換 T(n/2)，並推匯出T(n)也符合這個猜測：

T(n)  = 2 * T(n/2) +Lower(n)

       <= 2 * n/2 *lg(n/2)*c+c2 * n

       = n *(lg(n) -1) *c + c2*n

      = n * lg(n)* c + (c2-c)* n

    < c * n * lg(n)

最後一步假設c2<c。由於這個兩個常數都是自己選定的，所以可以做到這一點。

在使用替換方法時，最難的是猜測出表示式的形式 g。同時要注意到g中的c是常數，不能隨著n而變化。有時可以通過變數替換的方法，將近似的表示式變換成熟悉的表示式。

使用遞迴樹的方法可以較容易的猜測出表示式的形式。遞迴樹的思想是，輸入為n的複雜度是幾個較小輸入的複雜度的總和，這樣一層一層的劃分下去，會形成一個樹。在樹的每一層會增加複雜度，最後樹的葉子節點是簡單的操作，我們可以認為他的複雜度為常數c。這樣我們只需要求的葉子節點的數量，以及樹的層數，就可以計算出整個演算法的複雜度。

以上面的歸併排序演算法為例，假設有n個節點，那麼每個父親兩個孩子，所以有lg（n)層，每層複雜度為n，最後葉節點是n個。所以複雜度是n * lg(n) * c + n, 由於n的次數較低，所以略去。

利用遞迴樹可以得到一個遞迴複雜度的通解，如下所示：

0=========（x / V）----+++++(x)+++++-------(x*V)^^^^^^^^^

首先給所有的遞迴複雜度一個統一的定義:

T(n)=aT(n/b)+f(n)， a>1,b>1

那麼x表示n的lg(a)/lg(b)次方。

V是n的一個未知的正數次方，任何正數都可以，0.1,0.0001,1,100。

上面那一排表示f(n)可能的複雜度，可以看到從左到右，逐漸增大。隨著f(n)的複雜度不同，演算法的複雜度也不一樣。

1. 在====區域，演算法複雜度由x/v確定，T(n)=tight(x)
2. 在++++區域，複雜度為 T(n)=Tight(X*lg(n)）
3. 在^^^^區域，複雜度由f(n)確定，T(n)=Tight(f(n))

最後一個有一個額外的限制，不過我還不明白為什麼需要這個限制，這個限制是：a* f(n/b)<=c*f(n)其中c是小於1的常數。

推理很簡單，設f(n)=n的y次方。

那麼進入第三種情況說明，f(n)>x，也就是說y大於lg(a)/lg(b)，也就說明a<b的y次方。

再回到a*f(n/b)<c f(n)上來，如果要滿足題意，只需要則a* (n/b)的y次方<c*n的次方，那麼只需要a<c*b的y次方。

由於a,b,y都是常數，必然可以求得一個c使得上面的等式成立。

最後是一個思考題，a[1...n]存放0到n共n+1個整數，只能進行一個操作"讀取第i個元素的第j個bit"，如何在Lower(n)的複雜度內找到丟失那個數。

我想到的方法是我們可以知道在0到31個bit上，所有整數共有多少個1是確定的。那麼對n個數掃描32遍，肯定能發現在某幾個位置上1丟失了，把這些1組合起來，就是我們丟失的陣列。

不知道更好的解法是什麼。