最近在學演算法，想著不能只是學，要深刻領悟，需要記錄，需要寫程式碼，需要分析……所以就誕生了這篇部落格。

問題描述：

設X和Y都是n位整數，計算它們的乘積XY。可以使用傳統的數學計算方法，但是這樣做計算步驟太多，效率較低。如果將每個一位數的乘法或加法看做一步運算，則這種方法需要進行O（n^2）步運算才能求出乘積XY。

方法一

基本計算步驟如下，如：56*78
第一步：6*8；
第二步：5*8；
第三步：6*7；
第四步：5*7；
第五步：以上4步的和加起來，得到最後的結果。
將以上的例子進行抽象，即可以這樣表示：
將n位十進位制（還包括其他進位制，如二進位制、八進位制、十六進位制等）整數X和Y都分為2段，每段的長為n/2位。即：
X

T(n) =

#include<stdio.h>
#include<math.h>
 

#define MAX_LENGTH 10
void sqperateNum(int num, int seArray_num[]); //資料儲存到陣列中
int main()
{
    int i=0, j=0;
    int num1, num2;
    int sum = 0;
    int seArray_num1[MAX_LENGTH] = { -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1 }; //初始化陣列
    int seArray_num2[MAX_LENGTH] = { -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1
 
 }; 
    printf("Please input two numbers:\n");
    scanf("%d%d", &num1, &num2);
    sqperateNum(num1, seArray_num1);
    sqperateNum(num2, seArray_num2);
    while (seArray_num1[i]!=-1)
    {
        while (seArray_num2[j] != -1)
        {
            sum += seArray_num1[i] * seArray_num2[j] * pow(10.0, (i + j));
            j++;
        }
        i++;
        j = 0;
    }
    printf("%d*%d=%d\n", num1, num2, sum);
    return 0;
}
//資料儲存到陣列中
void sqperateNum(int num, int seArray_num[])
{
    int k = 0;
    do
    {
        seArray_num[k] = num % 10;   
        num /= 10;    
        k++;
    } while (num%10!=0 ||(num/10 !=0));
}

方法二

然後我們對於該問題進行優化，要想改進該演算法的複雜性，必須減少乘法的次數。我們對以上的表示式進行一個優化，得到如下的表示式：
XY=（A∗10n2+B）（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BD=AC∗10n+((A−B)(D−C)+AC+BD)∗10n2+BD
通過以上表達式變形，我們只需進行3次n/2位整數的乘法，6次加減法操作和2次移位。由此可得如下的表示式：
T(n) =

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
int IntegerMultiply(int X, int Y, int N)
{
    int x = X;
    int y = Y;
    if ((0 == x) || (0 == y))
        return 0;
    if (1 == N)
    {
        return x*y;
    }
    else
    {
        int XL = x / (int)pow(10., (int)N / 2);
        int XR = x - XL * (int)pow(10., N / 2);
        int YL = y / (int)pow(10., (int)N / 2);
        int YR = y - YL * (int)pow(10., N / 2);

        int XLYL = IntegerMultiply(XL, YL, N / 2);
        int XRYR = IntegerMultiply(XR, YR, N / 2);
        int XLYRXRYL = IntegerMultiply(XL - XR, YR - YL, N / 2) + XLYL + XRYR;
        return (XLYL * (int)pow(10., N) + XLYRXRYL * (int)pow(10., N / 2) + XRYR);
    }
}
int main()
{
    int x = 1234, y = 9876; 
    int value = 0;
    value = IntegerMultiply(x, y, 4);
    printf("%ld*%ld=%ld", x,y,value);
    return 0;
}

綜上所述，主要是掌握對演算法複雜度的推導，以及實現相應的演算法。在這裡，不得不感嘆數學家的厲害，只是一個小小的公式變換，就將複雜度大大降低了。請大數學家們收下我的膝蓋，哈哈~