本欄目（Machine learning）包括單引數的線性迴歸、多引數的線性迴歸、Octave Tutorial、Logistic Regression、Regularization、神經網路、機器學習系統設計、SVM（Support Vector Machines 支援向量機）、聚類、降維、異常檢測、大規模機器學習等章節。所有內容均來自Standford公開課machine learning中Andrew老師的講解。（https://class.coursera.org/ml/class/index）

第八講. 支援向量機進行機器學習——Support Vector Machine

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（一）、SVM 的 Cost Function

（二）、SVM —— Large Margin Classifier

（三）、數學角度解析為什麼SVM 能形成 Large Margin Classifier（選看）

（四）、SVM Kernel 1 —— Gaussian Kernel

（五）、SVM 中 Gaussian Kernel 的使用

(六)、SVM的使用與選擇

本章內容為支援向量機Support Vector Machine（SVM）的導論性講解，在一般機器學習模型的理解上，引入SVM的概念。原先很多人，也包括我自己覺得SVM是個很神奇的概念，讀完本文你會覺得，其實只是擁有不同的目標函式， 不同的模型而已，Machine Learning的本質還沒有變，呵呵~

完成本文花了我很長時間，為了搞懂後面還有程式方便和參考網站大家實驗，希望對大家有所幫助。

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（一）、SVM 的 Cost Function

前面的幾章中我們分別就linear regression、logistic regression以及神經網路的cost function進行了講解。這裡我們通過logistic regression的cost function引入SVM。

首先回憶一下logistic regression的模型：

還是原先的假設，suppose我們只有兩個類，y=0和y=1。那麼根據上圖h(x)的圖形我們可以看出，

當y=1時，希望h(x)≈1，即z>>0；

當y=0時，希望h(x)≈0，即z<<0；

那麼邏輯迴歸的cost function公式如下：

cost function我們之前已經講過了，這裡不予贅述。現在呢，我們來看看下面的兩幅圖，這兩幅圖中灰色的curve是logistic regression的cost function分別取y=1和y=0的情況，

y=1時，隨著z↑，h(x)逐漸逼近1，cost逐漸減小。

y=0時，隨著z↓，h(x)逐漸逼近0，cost逐漸減小。

這正是圖中灰色曲線所示的曲線。

ok，現在我們來看看SVM中cost function的定義。請看下圖中玫瑰色的曲線，這就是我們希望得到的cost function曲線，和logistic regression的cost function非常相近，但是分為兩部分，下面呢，我們將對這個cost function進行詳細講解。

logistic regression的cost function:

現在呢，我們給出SVM的目標函式（cost function）定義：

該式中，cost0和cost1分別對應y=0和y=1時的目標函式定義，最後一項regularization項和logistic regression中的類似。感覺係數少了什麼？是的，其實它們的最後一項本來是一樣的，但是可以通過線性變換化簡得到SVM的歸一化項。

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（二）、SVM —— Large Margin Classifier

本節給出一個簡單的結論——SVM是一個large margin classifier。什麼是margin呢？下面我們做詳細講解，其理論證明將在下一節中給出。

在引入margin之前，我們回顧一下上一節中的SVM cost function curve，如下圖所示分別是y取1和0時的情況。先給出一個結論，常數C取一個很大的值比較好（比如100000），這是為什麼呢？

我們來看哈，C很大，就要求[]中的那部分很小（令[]中的那部分表示為W），不如令其為0，這時來分析裡面的式子：

※需求1：

y=1時，W只有前一項，令W=0，就要求Cost₁(θ^Tx)=0，由右圖可知，這要求θ^Tx>=1；

y=0時，W只有後一項，令W=0，就要求Cost₀(θ^Tx)=0，由右圖可知，這要求θ^Tx<=-1；

由以上說明可知，對C的取值應該在分類是否犯錯和margin的大小上做一個平衡。那麼C取較大的值會帶來什麼效果呢？就是我們開頭說的結論——SVM是一個large margin classifier。那麼什麼是margin？在第三章中我們已經講過了decision boundary，它是能夠將所有資料點進行很好地分類的h(x)邊界。如下圖所示，我們可以把綠線、粉線、藍線或者黑線中的任意一條線當做decision boundary，但是哪一條最好呢？這裡我們可以看出，綠色、粉色、藍色這三類boundary離資料非常近，i.e.我們再加進去幾個資料點，很有可能這個boundary就能很好的進行分類了，而黑色的decision boundary距離兩個類都相對較遠，我們希望獲得的就是這樣的一個decision boundary。margin呢，就是將該boundary進行平移所得到的兩條藍線的距離，如圖中所指。

相對比：

C小，decision boundary則呈現為黑線；若C很大，就呈現粉線；

這個結論大家可以記住，也可以進行數學上的分析，下一節中我們將從數學角度分析，為什麼SVM選用大valeu的C會形成一個large margin classifier。

再給出一個數學上對geometry margin的說明：

任意一個點x到分類平面的距離γ的表示如上圖所示，其中y是{+1，-1}表示分類結果，x0是分類面上距x最短的點，分類平面的方程為wx+b=0,將x0帶入該方程就有上面的結果了。對於一個數據集x，margin就是這個資料及所有點的margin中離hyperplane最近的距離，SVM的目的就是找到最大margin的hyperplane。

練習：

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（三）、數學角度解析為什麼SVM 能形成 Large Margin Classifier（選看）

首先我們來看兩個向量內積的表現形式。假設向量u，v均為二維向量，我們知道u，v的內積u^Tv=u₁v₁+u₂v₂。表現在座標上呢，就如下圖左邊所示：

首先將v投影至u向量，記其長度為p（有正負，與u同向為正，反相為負，標量），則兩向量的內積u^Tv = ||u|| · ||v|| · cosθ = ||u|| · p = u₁v₁+u₂v_2。

這樣一來，我們來看SVM的cost function：

由於將C設的很大，cost function只剩下後面的那項。採取簡化形式，意在說明問題即可，設θ₀=0，只剩下θ₁和θ₂，

則cost function J(θ)=1/2×||θ||^2

而根據上面的推導，有θ^Tx=p·||θ||，其中p是x在θ上的投影，則

※需求2：

y=1時，W只有前一項，令W=0，就要求Cost₁(θ^Tx)=0，由右圖可知，這要求p·||θ||>=1；

y=0時，W只有後一項，令W=0，就要求Cost₀(θ^Tx)=0，由右圖可知，這要求p·||θ||<=-1；

我們集中精力看為什麼SVM的decision boundary有large margin（這裡稍微有點兒複雜，好好看哈）：

對於一個給定資料集，依舊用X表示正樣本，O表示負樣本，綠色的線表示decision boundary，藍色的線表示θ向量的方向，玫瑰色表示資料在θ上的投影。

我們已知boundary的角度和θ向量呈的是90°角（自己畫一下就知道了）。

先看這個圖，對於這樣一個decision boundary（沒有large margin），θ與其呈90°角如圖所示，這樣我們可以畫出資料集X和O在θ上的投影，如圖所示，非常小；如果想滿足[需求2]中說的

對正樣本p·||θ||>=1，

對負樣本p·||θ||<=-1，

就需要令||θ||很大，這就和cost function的願望（min 1/2×||θ||^2）相違背了，因此SVM的不出來這個圖中所示的decision boundary結果。

那麼再來看下面這個圖，

它選取了上一節中我們定義的“比較好的”decision boundary，兩邊的margin都比較大。看一下兩邊資料到θ的投影，都比較大，這樣就可以使||θ||相對較小，滿足SVM的cost function。因此按照SVM的cost function進行求解（optimization）得出的decision boundary一定是有large margin的。說明白了吧？！

練習：

分析：由圖中我們可以看出，decision boundary的最優解是y=x1，這時所有資料集中的資料到θ上的投影最小值為2，換言之，想滿足

對正樣本p·||θ||>=1，

對負樣本p·||θ||<=-1，

只需要

對正樣本2·||θ||>=1，

對負樣本（-2）·||θ||<=-1，

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（四）、SVM Kernel 1 —— Gaussian Kernel

對於一個非線性Decision boundary，我們之前利用多項式擬合的方法進行預測：

• f1, f2, ... fn為提取出來的features。
• 定義預測方程h_θ(x)為多項式的sigmod函式值：h_θ(x)=g(θ₀f₀+θ₁f₁+…+θ_nf_{n)，其中fn為x的冪次項組合（如下圖）}
• 當θ₀f₀+θ₁f₁+…+θ_nf_n>=0時h_θ(x)=1；else h_θ(x)=0；

那麼，除了將fn定義為x的冪次項組合，還有沒有其他方法表示 f 呢？本節就引入了Kernel，核的概念。即用核函式表示f。

發現相似度計算公式很像正態分佈（高斯分佈）對不對？是的！這就是高斯核函式。由下圖可以看出，

x和l越相似，f越接近於1；

x與l相差越遠，f越接近於0；

下圖中的橫縱座標為x的兩個維度值，高為f（new feature）。制高點為x=l的情況，此時f=1。

隨著x與l的遠離，f逐漸下降，趨近於0.

下面我們來看SVM核分類預測的結果：

引入核函式後，代數上的區別在於f變了，原來f是x1/x1^2/...，即xi冪次項乘積

引入核函式後，幾何上來說可以更直觀的表示是否應該歸為該類了（如下圖）

• 比如我們想將座標上的所有資料點分為兩類（如下圖中）紅色圈內希望預測為y=1；圈外希望預測為y=0。通過訓練資料集呢，我們得到了一組θ值(θ0,θ1,θ2,θ3)=(-0.5,1,1,0)以及三個點(L1，L2，L3)，（具體怎麼訓練而成的大家先不要過分糾結，後面會講）
• 對於每個test資料集中的點，我們首先計算它到（L1，L2，L3)各自的相似度，也就是核函式的值（f1，f2，f3），然後帶入多項式θ₀f₀+θ₁f₁+…+θ_nf_n計算，當它>=0時，預測結果為類內點（正樣本，y=1），else預測為負樣本，y=0

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（五）、SVM 中 Gaussian Kernel 的使用

§5.1.    landmark的選取和引數向量θ的求解

上一節中我們遺留了兩個問題，一個是一些L點的選取，一個是向量θ計算。這一節我們就來講講這兩個問題。

首先來看L的選取。上一節中一提到Gaussian kernel fi 的計算：

這裡呢，我們選擇m個訓練資料，並取這m個訓練資料為m個landmark（L）點（不考慮證樣本還是負樣本），如下圖所示：

PS：那麼在這m個訓練資料中，每一個訓練資料x(i)所得的特徵向量（核函式）f中，總有一維向量的值為1（因為這裡x(i)=l(i)）

於是，每個特徵向量f有m+1維（m維訓練資料[f1,f2,...,fm]附加一維f0=1）

在SVM的訓練中，將Gaussian Kernel帶入cost function,通過最小化該函式就可與得到引數θ，並根據該引數θ進行預測：

若θ^Tf>=0，predicty=1;

else predict y=0;

如下圖所示，這裡與之前講過的cost function的區別在於用kernel f 代替了x。

§5.2.    landmark的選取和引數向量θ的求解

好了，至此Landmark點和θ的求取都解決了，還有一個問題，就是cost function中兩個引數的確定：C和σ²。

對於C，由於C=1/λ，所以

C大，λ小，overfit，產生low bias，high variance

C小，λ大，underfit，產生high bias，low variance

詳細原因請參考第六章中關於bias和variance的講解。

對於方差σ²，和正態分佈中的定義一樣，

σ²大，x-f 影象較為扁平;

σ²小，x-f 影象較為窄尖;

關於C和σ²的選取，我們來做個練習：

解析，過擬合說明應該適當加強cost function中的正則項所起的作用，因此應增大λ，即減小C；同時，過擬合是的只有一小部分範圍內的x享有較大f，或者說x的覆蓋面太窄了，所以應當增大σ²。

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（六）、SVM 的 使用與選擇

本節中主要介紹SVM在matlab中用libsvm中的應用，給大家一個用SVM進行實踐的平臺。

前面幾節中我們已知用SVM進行機器學習的過程就是一個optimize引數θ的過程，這裡呢，我們首先介紹一個Chih-Chung Chang 和 Chih-Jen Lin做的 matlab/C/Ruby/Python/Java...中通用的機器學習tool，libsvm，其基本講解和測試我以前講過（在這裡），算是入門篇，並不詳細，這裡呢，我們將結合本章課程近一步學習，並用matlab實現。

首先大家來看看，想要進行SVM學習，有哪兩類：

一種是No kernel（linear kernel），h_θ(x)=g(θ₀x₀+θ₁x₁+…+θ_nx_{n)，predict y=1 if θ^Tx>=0;}

_{另一種是使用kernel f（比如Gaussian Kernel），hθ(x)=g(θ0f0+θ1f1+…+θnfn)，這裡需要選擇方差引數σ²}

如下圖所示：

需要注意的是，不管用那種方法，都需要在ML之前進行Normalization歸一化！

當然，除了Gaussian kernel,我們還有很多其他的kernel可以用，比如polynomial kernel等，如下圖所示，但andrew表示他本人不會經常去用（或者幾乎不用）以下"more esoteric"中的核，一個原因是其他的核不一定起作用。我們講一下polynomial kernel:

polynomial 核形如 K（x，l）= (x^Tl+c)^d，也用來表示兩個object的相似度

首先給大家引入一個資料集，在該資料集中，我們可以進行初步的libsvm訓練和預測，如這篇文章中所說，這個也是最基本的no kernel(linear kernel)。

然後呢，給大家一個reference，這是libsvm中traing基本的語法：

1. Usage: model = svmtrain(training_label_vector, training_instance_matrix, 'libsvm_options');  
2. libsvm_options:  
3. -s svm_type : set type of SVM (default 0)  
4.     0 -- C-SVC  
5.     1 -- nu-SVC  
6.     2 -- one-class SVM  
7.     3 -- epsilon-SVR  
8.     4 -- nu-SVR  
9. -t kernel_type : set type of kernel function (default 2)  
10.     0 -- linear: u'*v  
11.     1 -- polynomial: (gamma*u'*v + coef0)^degree  
12.     2 -- radial basis function: exp(-gamma*|u-v|^2)  
13.     3 -- sigmoid: tanh(gamma*u'*v + coef0)  
14.     4 -- precomputed kernel (kernel values in training_instance_matrix)  
15. -d degree : set degree in kernel function (default 3)  
16. -g gamma : set gamma in kernel function (default 1/num_features)  
17. -r coef0 : set coef0 in kernel function (default 0)  
18. -c cost : set the parameter C of C-SVC, epsilon-SVR, and nu-SVR (default 1)  
19. -n nu : set the parameter nu of nu-SVC, one-class SVM, and nu-SVR (default 0.5)  
20. -p epsilon : set the epsilon in loss function of epsilon-SVR (default 0.1)  
21. -m cachesize : set cache memory size in MB (default 100)  
22. -e epsilon : set tolerance of termination criterion (default 0.001)  
23. -h shrinking : whether to use the shrinking heuristics, 0 or 1 (default 1)  
24. -b probability_estimates : whether to train a SVC or SVR model for probability estimates, 0 or 1 (default 0)  
25. -wi weight : set the parameter C of class i to weight*C, for C-SVC (default 1)  
26. -v n : n-fold cross validation mode  
27. -q : quiet mode (no outputs)  

1. function [ output_args ] = Nonlinear_SVM( input_args )  
2. %NONLINEAR_SVM Summary of this function goes here  
3. %   Detailed explanation goes here  
4. %generate data1  
5. r=sqrt(rand(100,1));%generate 100 random radius  
6. t=2*pi*rand(100,1);%generate 100 random angles, in range [0,2*pi]  
7. data1=[r.*cos(t),r.*sin(t)];%points  
8. %generate data2  
9. r2=sqrt(3*rand(100,1)+1);%generate 100 random radius  
10. t2=2*pi*rand(100,1);%generate 100 random angles, in range [0,2*pi]  
11. data2=[r2.*cos(t2),r2.*sin(t2)];%points  
12. %plot datas  
13.  plot(data1(:,1),data1(:,2),'r.')  
14.  hold on  
15. plot(data2(:,1),data2(:,2),'b.')  
16. ezpolar(@(x)1);%在極座標下畫ρ=1，θ∈[0,2π]的影象，即x^2+y^2=1  
17. ezpolar(@(x)2);  
18. axis equal %make x and y axis with equal scalar  
19. hold off  
20. %build a vector for classification  
21. data=[data1;data2];     %merge the two dataset into one  
22. datalabel=ones(200,1);  %label for the data  
23. datalabel(1:100)=-1;  
24. %train with Non-linear SVM classifier use Gaussian Kernel  
25. model=svmtrain(datalabel,data,'-c 100 -g 4');   
26. end  

該例中我們分別生成了100個正樣本和100個負樣本，如下圖所示，因為kernel type default=2（即Gaussian kernel），通過svmtrain(datalabel，data，'-c 100 -g 4')我們設定了第五節中獎的引數——C（c）和 2σ²（g）分別為100和4。

執行結果：

1. >> Nonlinear_SVM  
2. *  
3. optimization finished, #iter = 149  
4. nu = 0.015538  
5. obj = -155.369263, rho = 0.634344  
6. nSV = 33, nBSV = 0  
7. Total nSV = 33  

最後，我們比較一下logistic regresion和 SVM：

用n表示feature個數，m表示training exampl個數。

①當n>=m，如n=10000，m=10~1000時，建議用logistic regression, 或者linear kernel的SVM

②如果n小，m不大不小，如n=1~1000，m=10~10000，建議用Gaussian Kernel的SVM

③如果n很小，m很大，如n=1~1000，m>50000，建議增加更多的feature並使用logistic regression, 或者linear kernel的SVM