本文翻譯自@sevenson的文章Separating Axis Theorem (SAT) Explanation 。原文作者用的是ActionScript 3來編寫演算法，不過文中主要講述的還是演算法原理，我想一旦演算法原理被我們掌握了，選擇什麼程式語言來實現演算法都是次要的事情了。
本人並非英文專業，所以文中翻譯得有不妥或疏漏之處，歡迎各位指正，謝謝！

正文如下：

分離軸定理（英文簡稱SAT）是一項用於檢測凸多邊形碰撞的技術。

我絕不是這個方面的專家，但當檢測碰撞的需求出現在我面前之後，我做了大量的閱讀並最終在ActionScript 3中實現了它。

我想，我應該把我所學到的分享給大家，希望大家不會在這方面被坑得很慘：）

當我發現我需要在flash中檢測多邊形碰撞時，我碰巧地遇到了一個叫“分離軸定理”的方法。但唯一的問題是，為了真正地掌握它，我可費了不少功夫。

在閱讀了大量有關碰撞檢測的資料，並參看了一些程式碼示例後，這個方法總算被我領悟了。

為了幫助其他那些不精通數學的開發者，我想我應該寫下這一篇能快速闡明這個演算法工作原理的簡短介紹。我還在下文引入了一個使用分離軸定理實現的demo，以及供大家下載並使用的ActionScript 3原始碼。（譯者：demo和原始碼請到原文中檢視和下載）

注意：分離軸定理需要一點數學向量的知識，所以在深究這個演算法前，你最好複習一下這方面的內容。

演算法簡述

從根本上來講，分離軸定理（以及其他碰撞演算法）的用途就是去檢測並判斷兩個圖形之間是否有間隙。分離軸定理中用到的方法使演算法本身顯得十分獨特。

我所聽到過分離軸定理的最好類比方式是這樣的：

假想你拿一個電筒從不同的角度照射到兩個圖形上，那麼會有怎樣的一系列的陰影投射到它們之後的牆壁上呢？

如果你用這個方式從每一個角度上對這兩個圖形進行處理，並都找不到任何的間隙，那麼這兩個圖形就一定接觸。如果你找到了一個間隙，那麼這兩個圖形就顯而易見地沒有接觸。

從程式設計的角度來講，從每個可能的角度上去檢測會使處理變得十分密集。不過幸運的是，由於多邊形的性質，你只需要檢測其中幾個關鍵的角度。

你需要檢測的角度數量就正是這個多邊形的邊數。也就是說，你所需檢測的角度最大數量就是你要檢測碰撞的兩個多邊形邊數之和。舉個例子，兩個五邊形就需要檢測10個角度。

如何在程式碼中實現

這是一個簡易但比較囉嗦的方法，以下是基本的步驟：

步驟一：從需要檢測的多邊形中取出一條邊，並找出它的法向量（垂直於它的向量），這個向量將會是我們的一個“投影軸”。

步驟二：迴圈獲取第一個多邊形的每個點，並將它們投影到這個軸上。（記錄這個多邊形投影到軸上的最高和最低點）

步驟三：對第二個多邊形做同樣的處理。

步驟四：分別得到這兩個多邊形的投影，並檢測這兩段投影是否重疊。

如果你發現了這兩個投影到軸上的“陰影”有間隙，那麼這兩個圖形一定沒有相交。但如果沒有間隙，那麼它們則可能接觸，你需要繼續檢測直到把兩個多邊形的每條邊都檢測完。如果你檢測完每條邊後，都沒有發現任何間隙，那麼它們是相互碰撞的。

這個演算法基本就是如此的。

順帶提一下，如果你記錄了哪個軸上的投影重疊值最小（以及重疊了多少），那麼你就能用這個值來分開這兩個圖形。

那麼如何處理圓呢？

在分離軸定理中，檢測圓與檢測多邊形相比，會有點點奇異，但仍然是可以實現的。

最值得注意的是，圓是沒有任何的邊，所以是沒有明顯的用於投影的軸。但它有一條“不是很明顯的”的投影軸。這條軸就是途經圓心和多邊形上離圓心最近的頂點的直線。

在這以後就是按套路遍歷另一個多邊形的每條投影軸，並檢測是否有投影重疊。

噢，對了，萬一你想知道如何把圓投影到軸上，那你只用簡單地把圓心投影上去，然後加上和減去半徑就能得到投影長度了。

優點與不足

和其他的碰撞檢測技術一樣，分離軸定理演算法有它自己的優點和不足。以下是其一些優點和不足的簡要概述：

優點

（譯者：原來老外也喜歡先談優點啊～>～）

• 分離軸定理演算法十分得快——它完美地使用了基本的數學向量知識。只要間隙一旦被檢測出來，那麼你就能馬上得出結果，消除不必要的運算。
• 分離軸定理演算法十分得準——至少據我所知是這樣的。（譯者：突然感覺作者好不靠譜啊，囧……）

不足

• 分離軸定理演算法只適用於凸多邊形——複雜的圖形（譯者：指的是凹多邊形，比如五角星）無法使用此方法，除非你把它們分成一些小的凸多邊形，然後依次檢驗這些小的多邊形。
• 分離軸定理演算法無法告訴你是那條邊發生的碰撞——僅僅是告訴你重疊了多少和分開它們所需的最短距離。

可能這個演算法會有更多優點和不足之處，但是我想這應該是最主要的幾個了。

總結

我希望這篇文章能幫助你瞭解到分離軸定理演算法。我已經儘可能地不提供過多的資訊並講解得十分簡明瞭。（我絕不是數學方面的專家，所以如果我遺漏了什麼，我深表歉意）

以下是一些幫助我理解分離軸定理演算法的頁面：

• harverycartel.org——有更多詳細的表述以及很多很酷的示例。我在這個頁面上學到了很多。
• GPWiki.org——有不錯的講解和程式碼示例，我用這些程式碼作為編寫自己程式碼的基礎。
• Tony Pa——向量教程，學習向量的不錯資源。
• GameDev.net forum——一個論壇成員寫的分離軸定理碰撞檢測系統，帶給了我一些計算方面的想法。

以下是譯者補充的內容

我將文中的演算法用JavaScript實現了一遍，大家有興趣的話，可以到下面提供的連結中下載原始碼或檢視線上demo。

原始碼下載