序列計數(count)

題目描述

長度為n+1的序列A，其中的每個數都是不大於n的正整數，且n以內每個正整數至少出現一次。

對於每一個正整數k=1,…,n+1，求出的本質不同的長度為k的子序列(不一定要連續)的數量。對109+7取模。

輸入格式

第一行一個正整數n。

第二行n+1個正整數A1…An+1，描述序列A。

輸出格式

n+1行，對於第i行，輸出一個整數表示長度為i的本質不同子序列的數量，對10^9+7取模。

樣例

input1

3
1 2 1 3

output1

3
5
4
1

explanation

長度為1的子序列有3個：1 ，2 ，3。

長度為2的子序列有5個：11 ，12 ，13，21，23。

長度為3的子序列有4個：121 ，123 ，113，213。

長度為4的子序列有1個：1213。

input2

見樣例 ex_count2.in。

output2

見樣例 ex_count2.out。

資料範圍和約定

對於20%的資料，n≤20。

對於40%的資料，n≤2000。

對於額外20%的資料，保證A中相同的數一定相鄰。

對於100%​的資料，n≤100000​，1≤Ai≤n​。

時間限制：1s 空間限制：512MB

真的沒有寫部落格所以就把考試寫的思路發上來了所以語無倫次看不懂我也非常抱歉請諒解我的**

10
5 2 6 8 4 3 9 1 4 7 10
left=5
right=9

重複的元素記為rix
考慮left和right出現在同一位置的可能性，這樣就本質相同了，此時應減去其情況數

設當前選i個，rix出現在第j位上。
先考慮左邊的那個rix
a1 a2 a3 … aj-1 rix aj+1 … ai
則a1~aj-1都是rix之前的，aj+1到ai都是rix之後的
情況數為C(lef-1,j-1)*C(i-lef,i-j)

考慮lef，rig兩種情況中重複的選擇情況數為：
C(lef-1,j-1)*C(N+1-rig,i-j),
j∈[1,i]且滿足lef-1>=j-1,N+1-rig>=i-j，
所以j∈[max(1,i+rig-N-1),min(i,lef)]
故答案為：C(N+1,i)-ΣC(lef-1,j-1)*C(N+1-rig,i-j)（j的範圍如上）

這個方法對所有i∈[1,N+1]成立
可是這個做法是O(N^2)的
肯定過不了
肯定會被大佬嘲笑
所以要麼優化要麼換一個方法
反正答案應該是O(N)的吧
優化就是一個思路：
考慮能不能把那個Σ變成O(1)的
怎麼變成O(1)的呢？
1.考慮通過神奇的數學公式變成O(1)的
2.考慮有沒有遞推關係

主要是把減數那一坨Σ化簡，發現C(lef-1,j-1)可以提出來,所以ΣC(lef-1,j-1)*C(N+1-rig,i-j)=C(lef-1,j-1)*ΣC(N+1-rig,i-j)。其中i-j的範圍為(i-j)∈[i-min(i,lef),i-max(1,i+rig-N-1)]。

我們再來化簡ΣC(N+1-rig,i-j)。

先把類分開來討論：
① 1<=i+rig-N-1時：即i>=N-rig+2時：
Ⅰ. i<=lef 時，i-j ∈[0,N+1-rig] , ΣC(N+1-rig,i-j) 就可以很偷稅地二項式定理，此時原式=C(lef-1,j-1)(2^(N+1-rig))
Ⅱ. i>lef 時，i-j ∈[i-lef,N+1-rig]，可以先求一個字首和，再用二項式定理減去這個字首和，此時原式=C(lef-1,j-1)(2^(N+1-rig)-(C(N+1-rig,0)+C(N+1-rig,1)+…+C(N+1-rig,i-lef)))
然後這兩種情況其實可以合併，只需要令下標為負數的字首和為0即可。
（或者乾脆if一下合什麼並有神經病）

②i<N-rig+2時：
Ⅰ. i<=lef 時，i-j ∈[0,i-1] , 發現也是字首和，而且不需要二項式定理。
Ⅱ. i>lef 時，i-j ∈[i-lef,i-1]，字首和也可以解決，而且不需要二項式定理。

沒有程式碼