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1、引出問題

　　在前面講解 HashMap  的原始碼實現時，有如下幾點：

　　①、初始容量為 1<<4，也就是24 = 16

　　②、負載因子是0.75，當存入HashMap的元素佔比超過整個容量的75%時，進行擴容，而且在不超過int型別的範圍時，進行2次冪的擴充套件(指長度擴為原來2倍)

　　擴大一倍

　　③、新新增一個元素時，計算這個元素在HashMap中的位置，也就是本篇文章的主角 雜湊運算。分為三步：

　　第一步：取 hashCode 值： key.hashCode()

　　第二步：高位參與運算：h>>>16

　　第三步：取模運算：(n-1) & hash

1     static final int hash(Object key) {
2         int h;
3         return (key == null) ? 0 : (h = key.hashCode()) ^ (h >>> 16);
4     }
5 
6     tab[i = (n - 1) & hash]；

　　ps：第 6 行程式碼是我自己加的。

　　我們知道一個好的 雜湊演算法能夠使得元素分佈的更加均勻，從而減少雜湊衝突。HashMap 在這塊的處理就很巧妙：

　　首先第一步取得 hashCode，該方法是一個用native修飾的本地方法，返回的是一個 int 型別的值（根據記憶體地址換算出來的一個值），通常我們都會重寫該方法。

　　第二步將取得的雜湊值無符號右移16位，高位補0。並與前面第一步獲得的hash碼進行按位異或^ 運算。這是為了當length比較小的時候，也能保證考慮到高低Bit位都參與到Hash的計算中，同時不會有太大的開銷。

　　本文的重點是第三步，將經過前面兩步獲取的 hash 值，與HashMap的集合長度減 1 進行按位與 & 運算：(n-1) & hash。但是其實很多雜湊演算法，為了使元素分佈均勻，都是用的取模運算，用一個值去模上總長度，即 n%hash。我們知道在計算機中 & 的效率比 % 高很多，那麼如何將 % 轉換為 & 運算呢？在HashMap 中，是用的 (n - 1) & hash 進行運算的，那麼這是為什麼呢？

　　這就是本篇部落格我們將要明白的問題。

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2、結論

我們先給出結論：

　　當 lenth = 2n 時，X % length = X & (length - 1)

也就是說，長度為2的n次冪時，模運算 % 可以變換為按位與 & 運算。

　　比如：9 % 4 = 1，9的二進位制是 1001 ,4-1 = 3,3的二進位制是 0011。 9 & 3 = 1001 & 0011 = 0001 = 1

　　再比如：12 % 8 = 4,12的二進位制是 1100,8-1 = 7,7的二進位制是 0111。12 & 7 = 1100 & 0111 = 0100 = 4

　　上面兩個例子4和8都是2的n次冪，結論是成立的，那麼當長度不為2的n次冪呢？

　　比如：9 % 5 = 4，9的二進位制是 1001，5-1 = 4,4的二進位制是0100。9 & 4 = 1001 & 0100 = 0000 = 0。顯然是不成立的。

　　為什麼是這樣？下面我們來詳細分析。

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3、分析過程

　　首先我們要知道如下規則：

　　①、"<<" 左移：右邊空出的位上補0，左邊的位將從字頭擠掉，左移一位其值相當於乘2。

　　②、">>"右移：右邊的位被擠掉，右移一位其值相當於除以2。對於左邊移出的空位，如果是正數則空位補0，若為負數，可能補0或補1，這取決於所用的計算機系統。

　　③、">>>"無符號右移，右邊的位被擠掉，對於左邊移出的空位一概補上0。

　　根據二進位制數的特點，相信大家很好理解。

　　對於給定一個任意的十進位制數XnXn-1Xn-2....X1X0，我們將其用二進位制的表示方法分解：

　　XnXn-1Xn-2....X1X0   = Xn*2n+Xn-1*2n-1+......+X1*21+X0*20                       3-1公式

　　這裡的十進位制數只有三位，同理當有N位時，後面2的冪次方依次從 0 開始遞增到 N 。

　　回到上面的結論： lenth = 2n 時，X % length = X & (length - 1)

　　以及對於除法，被除數是滿足分配率的（除數不滿足）：

　　成立：（a+b）÷c=a÷c+b÷c                                                                          3-2公式

　　不成立：a÷（b+c）≠a÷c+b÷c

　　通過 3-1公式以及 3-2 公式，我們可以得出當任意一個十進位制除以一個2k的數時，我們可以將這個十進位制轉換成3-1公式的表示形式：

　　(XnXn-1Xn-2....X1X0)  / 2k   =  (Xn*2n+Xn-1*2n-1+......+X1*21+X0*20) / 2k = Xn*2n /  2k +Xn-1*2n-1 /  2k  +......+  X1*21 /  2k + X0*20 /  2k

　　如果我們想求上面公式的餘數，相信大家一眼就能看出來：

　　①、當 0<= k <= n 時，餘數為 Xk*2k+Xk-1*2k-1+......+X1*21+X0*20   ,也就是說 比 k 大的 n次冪，我們都舍掉了（大的都能整除 2k），比k小的我們都留下來了(小的不能整除2k)。那麼留來下來即為餘數。

　　②、當 k > n 時，餘數即為整個十進位制數。

　　看到這裡，我們離證明結論已經很近了。再回到上面說的二進位制的移位操作，向右移 n 位，表示除以 2n 次方，由此我們得到一個很重要的結論：

　　一個十進位制數對一個2n 的數取餘，我們可以將這個十進位制轉換為二進位制數，將這個二進位制數右移n位，移掉的這 n 位數即是餘數。

知道怎麼算餘數了，那麼我們怎麼去獲取這移掉的 n 為數呢？

　　我們再看20,21,22....2n  用二進位制表示如下：

　　0001，0010，0100，1000，10000......

　　我們把上面的數字減一：

　　0000，0001，0011，0111，01111......

　　根據與運算子&的規律，當位上都是 1 時，結果才是 1，否則為 0。所以任意一個二進位制數對 2k 取餘時，我們可以將這個二進位制數與（2k-1）進行按位與運算，保留的即使餘數。

　　這就完美的證明了前面給出的結論：

　　當 lenth = 2n 時，X % length = X & (length - 1)

　　注意，一定要是2n次方，才滿足上面的公式，否則就是錯誤的。

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4、總結

　　通過上面的分析過程了，我們完美了證明了公式的正確性。在回到 HashMap 的實現過程，我們知道HashMap的初始容量為啥是 1<<4 了吧，而且每次擴容都是擴大一倍。因為必須要完美的滿足 hash 演算法。