[密碼學]格密碼學（2）-揹包公鑰密碼體制
（注：本文僅供學習，轉載或者拷貝引起的一切後果自負，本文部分內容翻譯並參考自：《An Introduction to Mathematical Cryptography》（Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman））
上一篇介紹了同餘公鑰密碼體制，本篇筆者將介紹另一個經典的金鑰體制--揹包公鑰密碼體制。在介紹該問題之前，先介紹下子集和問題。
1、子集和問題
假設在整數域上有集合S=｛a,b,c,d,e,f.....｝和一個整數sum。那麼找到集合S的一個子集SubS，該子集滿足：該子集中的所有元素相加恰好為sum。比如S=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，sum=15，那麼我們可以找到其子集SubS={7,8}或者｛1，6，8｝等等，這樣的一個問題就是子集和問題。
子集合問題是NP完備問題（NP-complete problem），其求解是非常困難的（剛剛筆者所給的例子是一種比較簡單的情況，讀者請不要誤以為該問題很好解決）。
我們考慮，子集和問題是否有所謂的特殊情況，而且這種特殊情況我們和容易去求解呢？答案是肯定的。
這裡我們將討論下超遞增序列（superincreasing sequence）。即集合S是超遞增的，那麼什麼是超遞增序列呢？首先我們給出超遞增序列的定義。超遞增序列指的是這樣的一個集合
超遞增序列具有什麼好處呢？由其定義，我們可以知道它具有這樣的一個性質：
例1：對於超遞增序列M=｛3，11，24，50，115｝，和Sum=142。求解該子集和問題。
Step 1：142-115=27>0，故115被選中；
Step 2：27-50<0，故50不選；
Step 3：27-24=3>0,故24選中；
Step 4：3-11<0，故11不選；
Step 5：3-3=0，故3選中，演算法結束，找到子集。
綜上過程，得到的子集為SubS={3，24，115}。驗證正確。
那麼該如何將這個問題變成一個可用的密碼體制？我們只需要將一個超遞增序列通過一些運算得到一個非超遞增序列（簡單的說，就是將超遞增序列偽裝成非遞增序列）。下面我們來介紹由這個問題產生的揹包公鑰密碼體制。
2、揹包公鑰密碼體制
通過上面的介紹，我們對於子集和問題有了一定的認識。那麼該如何偽裝？
和以前一樣，我們先通過一個例子來大概瞭解下。
例2：有超遞增序列r={3,11,24,50,115}，Alice選擇A=113，B=250。然後Alice通過下面的運算來偽裝該超遞增序列r。
M=113r (mod 250)={89，243，212，150，245}。顯然M不是一個超遞增序列了。M就是公鑰。
現在Bob要傳送一個訊息給Alice，這裡我們假設訊息內容x={1,0,1,0,1}（是一個二元字串）。然後S=xM=1*89+0*243+1*212+0*150+1*245=546。S即為密文。
Alice接收到Bob傳送的密文S後，解密過程如下：
下面給出該金鑰體制過程的描述。
（1）Alice：選擇一個超遞增序列
（2）Bob：二元對字串明文x，用Alice的公鑰計算S=x*M。S是密文。
（3）Alice解密：計算
給出該公鑰密碼體制的JAVA實現。
import java.math.BigDecimal;
import java.math.BigInteger;
public class KnapsackCryptosystems {
private final int MAX = 10;
BigInteger[] SuperSet = new BigInteger[MAX];
BigInteger[] PublicKeySet = new BigInteger[MAX];// 公鑰
BigInteger A, B;
public void GenerateSetAndPublicKey() {
SuperSet[0] = (new BigDecimal("10").multiply(new BigDecimal(Math
.random() + "")).add(BigDecimal.ONE)).toBigInteger();
for (int i = 1; i < MAX; i++) {
SuperSet[i] = (SuperSet[i - 1].multiply(new BigInteger("2"))
.add(new BigDecimal("10")
.multiply(new BigDecimal(Math.random() + ""))
.add(BigDecimal.ONE).toBigInteger()));
}
B = (SuperSet[MAX - 1].multiply(new BigInteger("2"))
.add(new BigDecimal("10")
.multiply(new BigDecimal(Math.random() + ""))
.add(BigDecimal.ONE).toBigInteger()));
A = SuperSet[MAX - 1];
while (true) {
A = A.subtract(BigInteger.ONE);
if (B.gcd(A).equals(BigInteger.ONE)) {
break;
}
}
for (int i = 0; i < MAX; i++) {
PublicKeySet[i] = A.multiply(SuperSet[i]).mod(B);
}
}
public BigInteger encrypt(String x) {
BigInteger S = BigInteger.ZERO;
for (int i = x.length(); i < MAX; i++) {
x = x.concat("0");
}
for (int i = 0; i < MAX; i++) {
if (x.charAt(i) == '1')
S = S.add(PublicKeySet[i]);
}
return S;
}
public String decrypt(BigInteger S) {
BigInteger S1;
String x = "";
S1 = A.modInverse(B).multiply(S).mod(B);
int num = MAX;
while (true) {
if (S1.subtract(SuperSet[num - 1]).signum() > 0) {
S1 = S1.subtract(SuperSet[num - 1]);
x = "1".concat(x);
} else if (S1.subtract(SuperSet[num - 1]).signum() == 0) {
x = "1".concat(x);
break;
} else {
x = "0".concat(x);
}
num--;
}
if (num != 0) {
for (int i = 0; i < num - 1; i++)
x = "0".concat(x);
}
return x;
}
public static void main(String args[]) {
KnapsackCryptosystems kc = new KnapsackCryptosystems();
kc.GenerateSetAndPublicKey();
System.out.println("隨機產生的公鑰：");
System.out.print("(");
for (int i = 0; i < kc.MAX - 1; i++)
System.out.print(kc.PublicKeySet[i] + ",");
System.out.println(kc.PublicKeySet[kc.MAX - 1] + ")");
// 隨機產生5組訊息
for (int j = 0; j < 5; j++) {
String x = "";
for (int i = 0; i < kc.MAX; i++) {
if (Math.random() < 0.5) {
x = x.concat("1");
} else
x = x.concat("0");
}
// 加密x資訊，得到密文S
System.out.println("第" + (j + 1) + "組隨機產生的明文： " + x);
String S = kc.encrypt(x).toString();
System.out.println("加密得到的密文：" + S);
System.out.println("解密得到的明文" + kc.decrypt(new BigInteger(S)));
}
}
}注：上述程式碼用了隨機的明文進行測試，且程式碼只針對二元字串進行加密處理，將文字用Huffman編碼轉換成二進位制後分段處理，這裡筆者不再實現，本程式僅供參考。
上述程式碼的執行結果如下：
筆者水平有限，難免存在不足，歡迎批評交流！