在概率論中，中國餐館過程是一個時間離散的（discrete-time）隨機過程（stochastic process），類似於中國餐館中坐在餐桌旁的顧客。想象一個這樣的情景，一家中國餐廳擁有無限數量的圓形桌子，每個桌子都有無限的容量。此時，顧客1坐在第一張桌子旁。下一個顧客要麼坐在與顧客1相同的桌子旁，要麼坐在下一張桌子旁。這樣的情況會一直持續下去，每個顧客要麼選擇坐在已有其他顧客的桌子旁，要麼選擇一張未被佔用的桌子，其中，選擇已有顧客桌子的概率與該桌子已經存在的顧客數量成比例（即，與含有少量顧客的桌子相比，他們更願意坐在含有更多顧客的桌子旁）。在時間$n$，$n$個顧客已經被劃分為$m區 \leq n$

個桌子。此過程的結果具有可交換性，這意味著顧客所就坐的順序不會影響最終分配的可能性。該性質極大地簡化了群體遺傳學，語言學分析和影象識別中的許多問題。

1 定義

在任何正整數時間n，該隨機過程的值是由集合$\{1,2,3，...，n\}$生成的分割槽$B_n$，其概率分佈通過如下方式確定。在時間$n = 1$時，以概率1獲得普通劃分$\{\{1\}\}$。在時間$n + 1$，元素$n + 1$可以是：
　　1. 新增到分割槽Bn的一個塊中，其中每個塊以概率$\frac{|b|}{(n + 1)}$

被選擇，其中$| b |$是塊的大小（即元素的數量）。
　　2. 作為新的塊新增到分割槽$B_n$，概率為$\frac{1}{(n + 1)}$。
　　如此生成的隨機分割槽具有一些特殊性質。它是可交換的，即重新改變$\{1，...，n\}$的順序不會改變$Bn$中分割槽的分佈，而且在通過從$\{1，...，n\}$中刪除元素$n$而獲得的$n - 1$分割槽定律的意義上它是一致的。時刻$n$的隨機分割槽與時刻$n-1$的隨機分割槽的規律相同。
　　分配給任何特定分割槽的概率（忽略顧客坐在某張桌子周圍的順序）是（從$n$

=1n=1開始增長進行理解）
$Pr(B_n=B)=\frac{\prod_{b\in B}(|b|-1)!}{n!}$
其中$b$是分割槽$B$的一個塊，$| b |$是該塊的大小（即元素的數量）。

2 一般化

這種結構可以推廣到具有兩個引數的模型，$\alpha$和$\theta$，分別稱為折扣和強度（或濃度）引數。 在時間$n + 1$，下一個到達的顧客發現$|B|$ 中的桌子都被佔用了，並決定按以下概率坐到一個空桌子旁（這裡的$\theta$為狄利克雷過程中的$\alpha$）
$\frac{\theta+|B|\alpha}{n+\theta},$
或者按以下概率做到人數為$|b|$的桌子b旁
$\frac{|b|-\alpha}{n+\theta}.$
　　為了使結構能夠有效的用於概率計算，有必要假設$\alpha<0$和$\theta= - L\alpha$，$L\in \{1,2，...\}$；或者假設$0\leq\alpha<1$且$\theta>-\alpha$。
　　在該模型下，根據Pochhammer k符號，分配給任何特定$n$所對應分割槽B的概率是
$Pr(B_n=B)=\frac{(\theta+\alpha)_{|B|-1,\alpha}}{(\theta+1)_{n-1,1}} \prod_{b\in B}(1-\alpha)_{|b|-1,1}$
在上面公式中，按照慣例，$(a)_{0,c}=1$，並且對於$b>0$，有
$(a)_{b,c}=\prod_{i=0}^{b-1}(a+ic)=\begin{cases} a^b& \text{if c=0}\\ \frac{c^b\Gamma(a/c+b)}{\Gamma(a/c)}& \text{otherwise} \end{cases}$
　　因此，對於$\theta> 0$的情況，分割槽概率可以用Gamma函式表示為
$Pr(B_n=B)=\frac{\Gamma(\theta)}{\Gamma(\theta+n)} \frac{\alpha^{|B|}\Gamma(\theta/\alpha+|B|)}{\Gamma(\theta/\alpha)} \prod_{b\in B}\frac{\Gamma(|b|-\alpha)}{\Gamma(1-\alpha)}.$
　　在只包含一個引數的情況，即$\alpha=0$，上式可簡化為
$Pr(B_n=B)=\frac{\Gamma(\theta)\theta^{|B|}}{\Gamma(\theta+n)} \prod_{b\in B}\Gamma(|b|).$
或者在$\theta=0$時，
$Pr(B_n=B)=\frac{\alpha^{|B|-1}\Gamma(|B|)}{\Gamma(n)} \prod_{b\in B}\frac{\Gamma(|b|-\alpha)}{\Gamma(1-\alpha)}.$
　　如前所述，分配給任何特定分割槽的概率僅取決於塊大小，因此如前所述，隨機分割槽具有可交換性。一致性也仍然存在。
　　如果$\alpha=0$，則由此產生的整數n的隨機分割槽的概率分佈是具有引數θ的Ewens分佈，被用於群體遺傳學和生物多樣性的統一中性理論。

2.1 推導

接下來介紹一種推導此分割槽概率的方法。 令$C_i$為新增數字$i$的隨機塊，對於$i = 1,2,3，....$，有
$Pr(C_i=c|C_1,...,C_{i-1})=\begin{cases} \frac{\theta+|B|\alpha}{\theta+i-1}& \text{if c} \in \text{new block,} \\ \frac{|b|-\alpha}{\theta+i-1}& \text{if c} \in \text{b;} \end{cases}$