那片雲：看了後有很大的收穫，開始主文及回覆均非常精彩。對理解卷積的數學物理意義很有幫助。

下面說一下我的理解：

1.卷積是求累積值，就是某一時刻的反應，是多個反應的疊加值。

2.既然如一，就有2.1任何訊號可微分成脈衝訊號的組合，依次通過系統。

2.1，系統是線性的，某時的響應是可以看成是響應的疊加。

注：關於線性系統，可以理解為：如果一系統，輸入為1時，輸出為1；那麼輸入為2時，輸出也為2.而不是1.幾。

3.y(t)=∫T(τ)H(t-τ)，這是卷積的公式，要理解這個，首先要有時間的概念，τ，t這兩個引數的真正意義，是時間。t是某時，而τ表示從零到某時的這個時間段的某時刻。

    這個公式包括兩個部份，前面的表示脈衝強度，τ時刻的脈衝強度；是後面的是單位脈衝響應函式，

或者說是響應的衰減函式，因為響應隨著時間的推移而減弱，就像疼痛會減弱一樣這樣更好理解，而個體表示的是t時刻時，τ時刻的脈衝響應的值。那麼整個式子就表示，強度*衰減係數。疊加到一塊兒，就是t時刻的響應了。

如上圖，脈衝的強度，和些脈衝響應的強度在時間上的關係。而卷積無非就是強度和時間上的關係。

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最幽默的解釋 卷積的物理意義

談起卷積分當然要先說說衝擊函式—-這個倒立的小蝌蚪，卷積其實就是為它誕生的。”衝擊函式”是狄拉克為了解決一些瞬間作用的物理現象而提出的符號。

古人曰：”說一堆大道理不如舉一個好例子”，衝量這一物理現象很能說明”衝擊函式”。在t時間內對一物體作用F的力，我們可以讓作用時間t很小，作用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即衝量不變。於是在用t做橫座標、F做縱座標的座標系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數學中它可以被擠到無限高，但即使它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），為了證實它的存在，可以對它進行積分，積分就是求面積嘛！於是”卷積” 這個數學怪物就這樣誕生了。說它是數學怪物是因為追求完美的數學家始終在頭腦中轉不過來彎，一個能瘦到無限小的傢伙，竟能在積分中佔有一席之地，必須將這個細高挑清除數學界。但物理學家、工程師們確非常喜歡它，因為它解決了很多當時數學家解決不了的實際問題。最終追求完美的數學家終於想通了，數學是來源於實際的，並最終服務於實際才是真。於是，他們為它量身定做了一套運作規律。於是，媽呀！你我都感覺眩暈的卷積分產生了。

例子：

有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。

有一個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒作唄！怎麼炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官——縣令。

無賴於是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，自然被請進大堂捱了一板子，然後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天……每天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！

縣令大人噤著鼻子，呆呆地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼不好使捏？……想當初，本老爺金榜題名時，數學可是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：

——人（系統！）挨板子（脈衝！）以後，會有什麼表現（輸出！）？

——費話，疼唄！

——我問的是：會有什麼表現？

——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼

（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉

強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）——死啦！

縣令鋪開座標紙，以打板子的個數作為X軸，以哼哼的程度（輸出）為Y軸，繪製了一條曲線：

——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連捱了三十天大板卻不喊繞命呀？

—— 呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；如果縮短打板子的時間間隔（建議 Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打就顯示不出您的仁慈了。

——還是不太明白，時間間隔小，為什麼痛苦程度會疊加呢？

——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感覺會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失（衰減），而不可能突然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每一個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻：

t個大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引起的痛苦*衰減係數)

[衰減係數是（t-τ）的函式，仔細品味]

數學表達為：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦來說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規律嗎？

——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲為什麼彎曲一次不折，快速彎曲多次卻會輕易折掉呢？

——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！

卷積及拉普拉斯變換的通俗解釋–對於我這類沒學過訊號系統的人來說太需要了

卷積(convolution, 另一個通用名稱是德文的Faltung)的名稱由來，是在於當初定義它時，定義成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv，積分割槽間在0到t之間。舉個簡單的例子，大家可以看到，為什麼叫”卷積”了。比方說在(0，100)間積分，用簡單的辛普生積分公式，積分割槽間分成100等分，那麼看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，……… 等等等等，就象是在座標軸上回卷一樣。所以人們就叫它”回捲積分”，或者”卷積”了。

為了理解”卷積”的物理意義，不妨將那個問題”相當於它的時域的訊號與系統的單位脈衝響應的卷積”略作變化。這個變化純粹是為了方便表達和理解，不影響任何其它方面。將這個問題表述成這樣一個問題：一個訊號通過一個系統，系統的響應是頻率響應或波譜響應，且看如何理解卷積的物理意義。

假設訊號函式為f, 響應函式為g。f不僅是時間的函式(訊號時有時無)，還是頻率的函式(就算在某一固定時刻，還有的地方大有的地方小)；g也是時間的函式(有時候有反應，有時候沒反應)，同時也是頻率的函式(不同的波長其響應程度不一樣)。那我們要看某一時刻 t 的響應訊號，該怎麼辦呢？

這就需要卷積了。

要看某一時刻 t 的響應訊號，自然是看下面兩點：

1。你訊號來的時候正趕上人家”系統”的響應時間段嗎？

2。就算趕上系統響應時間段，響應有多少？

響 應不響應主要是看 f 和 g 兩個函式有沒有交疊；響應強度的大小不僅取決於所給的訊號的強弱，還取決於在某頻率處對單位強度響應率。響應強度是訊號強弱和對單位強度訊號響應率的乘積。”交疊”體現在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看兩個函式錯開多少。

由於 f 和 g 兩個函式都有一定的頻寬分佈(假若不用開頭提到的”表述變化”就是都有一定的時間頻寬分佈)，這個訊號響應是在一定”範圍”內廣泛響應的。算總的響應訊號，當然要把所有可能的響應加起來，實際上就是對所有可能t1積分了。積分範圍雖然一般在負無窮到正無窮之間；但在沒有訊號或者沒有響應的地方，積也是白積，結果是0，所以往往積分範圍可以縮減。

這就是卷積及其物理意義啊。併成一句話來說，就是看一個時有時無(當然作為特例也可以永恆存在)的訊號，跟一個響應函式在某一時刻有多大交疊。

*********拉普拉斯*********

拉普拉斯(1729-1827) 是法國數學家，天文學家，物理學家。他提出拉普拉斯變換(Laplace Transform) 的目的是想要解決他當時研究的牛頓引力場和太陽系的問題中涉及的積分微分方程。

拉普拉斯變換其實是一個數學上的簡便演算法；想要了解其”物理”意義 — 如果有的話 — 請看我舉這樣一個例子：

問題：請計算十萬乘以一千萬。

對於沒學過指數的人，就只會直接相乘；對於學過指數的人，知道不過是把乘數和被乘數表達成指數形式後，兩個指數相加就行了；如果要問究竟是多少，把指數轉回來就是。

“拉 普拉斯變換” 就相當於上述例子中把數轉換成”指數” 的過程；進行了拉普拉斯變換之後，複雜的微分方程(對應於上例中”複雜”的乘法) 就變成了簡單的代數方程，就象上例中”複雜”的乘法變成了簡單的加減法。再把簡單的代數方程的解反變換回去(就象把指數重新轉換會一般的數一樣)，就解決了原來那個複雜的微分方程。

所以要說拉普拉斯變換真有” 物理意義”的話，其物理意義就相當於人們把一般的有理數用指數形式表達一樣。

另外說兩句題外話：

1 。拉普拉斯變換之所以現在在電路中廣泛應有，根本原因是電路中也廣泛涉及了微分方程。

2。拉普拉斯變換與Z變換當然有緊密聯絡；其本質區別在於拉氏變換處理的是時間上連續的問題，Z變換處理的是時間上分立的問題。

[有獎討論] 卷積運算的實際意義是什麼？

卷積運算是訊號處理常規的一個運算過程。

作為一個重要的基礎，請大家討論，也就是從概念，應用方向等去談談它的意義。

訊號處理對很多朋友來說可能比較難，作為基礎，我們不能小看它的作用。

歡迎參與討論。:)

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一個我覺得比較精彩的發言。。。開個頭！

從數學的角度分析：

      訊號處理是將一個訊號空間對映到另外一個訊號空間，通常就是時域到頻域，（還有z域，s域），訊號的能量就是函式的範數（訊號與函式等同的概念），大家都知道有個Paserval定理就是說對映前後範數不變，在數學中就叫保範對映，實際上訊號處理中的變換基本都是保範對映，只要Paserval定理成立就是保範對映（就是能量不變的對映）。

     前面說的意思就是訊號處理的任務就是尋找和訊號集合對應的一個集合，然後在另外一個集合中分析訊號，Fourier變換就是一種，它建立了時域中每個訊號函式與頻域中的每個頻譜函式的一一對應關係，這是元素之間的對應，那麼運算之間的對應呢，在時域的加法對應頻域中的加法，這就是FT線性性的體現，那麼時域的乘法對應什麼呢，最後得到的那個表示式我們就把它叫卷積，就是對應的頻域的卷積。

longdi 發表於 2006-11-16 16:11

對於卷積，下面是我的理解，如果錯誤，敬請指出，謝謝！

1。兩個時域上的函式做卷積可以這樣理解：一個函式表徵一個線性系統的

衝激響應，這個系統可以是時變的，但一定要是線性的；另一個函式表徵

輸入到該系統的訊號；卷積的結果表徵線性系統的輸出。對於非線性系統，

輸出訊號無法表示為輸入訊號與系統衝激響應的卷積，所以有些教材是叫作

訊號與線性系統，強調系統的線性。

2。兩個時域上的函式做卷積還可以這樣理解：輸出表徵做卷積的兩個函式

在特定時刻看來的相關程度，當然此時其中一個函式已經被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函式在這一時刻看來相似程度就越好。

gable 發表於 2006-11-24 12:13

前兩天看MATLAB教程中多項式相乘時候忽然想到一點，談一下自己的看法，有不足之處還請高人指點。

拿離散訊號開刀

卷積的表示式為 y(n)=∑x(k)×h(n-k)或y(n)=∑x(n-k)×h(k)

這裡的n-k表示h從負無窮移動到正無窮，每移動一個單位都同x相乘，所有的乘積項相加後就得到了y。

再看一下多項式的乘法

(……x^2+x+1……)×(x^2+3x-3)

=(……x^2+x+1……) ×x^2+(……x^2+x+1……) ×3x-(……x^2+x+1……) ×3

由於多項式是固定的，少了反折和平移，但我覺得這樣更容易理解卷積的數學表示式

物理意義就是：任何一個訊號都可以表示成單位衝擊訊號之和。當這個訊號通過一個線性系統時，若系統的衝擊響應已知，則只需將表示該訊號的每一個單位衝擊訊號在不同時延後的衝擊響應疊加，總和就是輸出訊號。

liukeke498 發表於 2006-12-11 19:48

很贊同樓上說的多項式的乘法的例子，從時域和z域的關係也可以理解。兩個多項式相乘就是

(a(0)+a(1)*z^(-1)+a(2)*z^(-2)......+a(p)z^(-p))*(b(0)+b(1)*z^(-1)+b(2)*z^(-2)+....+b(q)z^(-q))=c(0)+c(1)z^(-1)+c(2)z^(-2)+....+c(p+q)z^(p+q)

z域的乘積對應時域的卷積，因此乘積後的係數序列（c(0),c(1)....c(p+q))即為序列a(0)....a（p）與序列b(0)...b(q)進行線性卷積而得到

jumpyists 發表於 2006-12-29 13:44

一點感想

2。兩個時域上的函式做卷積還可以這樣理解：輸出表徵做卷積的兩個函式

在特定時刻看來的相關程度，當然此時其中一個函式已經被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函式在這一時刻看來相似程度就越好。

這話好像有問題？相關函式和卷積是不一樣的，翻翻訊號與系統吧

根據我個人的理解卷積運算之所以對於線形非時變系統如此重要

其原因有兩點：

   1 一個線性非時變系統對於單頻正弦訊號或復指訊號的響應仍然是單頻正弦訊號或復指訊號只是幅度上進行了

      加權，可見線性非時變系統對基本訊號的響應如此簡單就使人想到能否將對複雜訊號的響應轉化為對簡單

      訊號的響應的求解？

   2 傅立葉級數傅立葉變換就告訴我們如何將一個訊號分解為基本訊號

所以對一個訊號的響應求解的過程為：

     首先將其分解為基本訊號

      然後對每個基本訊號求響應

而卷積則正是這一過程的一個綜合表示

所以卷積是如此的重要！！！！！

還有一個很重要的原因是實際物理系統通常都可以近似為線性非時變系統或幾個線性非時變系統的互聯

所以所以卷積更更更重要了！！！！！

dragonkiss 發表於 2006-12-29 15:22

[quote]原帖由 [i]jumpyists[/i] 於 2006-12-29 13:44 發表

2。兩個時域上的函式做卷積還可以這樣理解：輸出表徵做卷積的兩個函式

在特定時刻看來的相關程度，當然此時其中一個函式已經被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函式在這一時刻看來相似程度 ... [/quote]

這個問題可能是各人理解的不同，可以和原來的朋友PM溝通一下。:)

longdi 發表於 2007-1-1 23:41

我說的相關不完全是嚴格定義上的相關，不過我覺得可以近似

那樣理解卷積。

[quote]原帖由 [i]jumpyists[/i] 於 2006-12-29 13:44 發表

2。兩個時域上的函式做卷積還可以這樣理解：輸出表徵做卷積的兩個函式

在特定時刻看來的相關程度，當然此時其中一個函式已經被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函式在這一時刻看來相似程度 ... [/quote]

ycx198 發表於 2007-1-2 21:01

我比較贊同卷積的相關性的作用  在通訊系統中的接收機部分MF匹配濾波器等就是本質上的相關

匹配濾波器最簡單的形式就是原訊號反轉移位相乘積分得到的近似＝相關

相關性越好得到的訊號越強   這個我們有一次大作業做的  做地做到嘔吐  呵呵

還有解調中一些東西本質就是相關  有機會再說哈  偶正在研究這個聶  呵呵

longdi 發表於 2007-1-19 21:44

2。兩個時域上的函式做卷積還可以這樣理解：輸出表徵做卷積的兩個函式

在特定時刻看來的相關程度，當然此時其中一個函式已經被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函式在這一時刻看來相似程度 ...

這話好像有問題？相關函式和卷積是不一樣的[/quote]

程乾生老師的《訊號數字處理的數學原理》（這本書本網站有的）

Page240有這樣的一段話：

“這說明，儘管褶積與相關是從研究不同的問題提出來的，但是二者的實質是相同的，

相關是一種褶積，褶積也是一種相關。”

xiaomifeng134 發表於 2007-1-25 22:52

對於一f(t)，把要考慮的從0到t的時間間隔等分成寬度為t1的n個小間隔，各脈衝的寬度都等於著間隔的寬度t1，各脈衝的高度分別等於他左邊所在時間[(k-1)*t1]的函式值。當t1甚小時這些脈衝分別用一些衝激函式來近似地表示，各衝激函式的位置就是它所代表的脈衝左側邊所在的時間，各衝激函式的強度就是它所代表的脈衝的面積。此時f(t)=f(0)*t1*delta(t) +...+f(k*t1)*t1*delta(t-k*t1)+...1=<k<=n,而對於一衝激響應為h(t)的線性系統，當輸入f(t)時，輸出為y(t)=f(0)*t1*h(t)+...+f(k*t1)*t1*h(t-k*t1)+...當t1趨於零時，y(t)就可表示為f(t)與h(t)的卷積。

longdi 發表於 2007-2-21 21:49

另外，關於相關和卷積的關係，我前面也說了自己的觀點，

後來也在程乾生老師的《訊號數字處理的數學原理》看到了他的觀點：

程乾生老師的《訊號數字處理的數學原理》（這本書本網站有的）

Page240有這樣的一段話：

“這說明，儘管褶積與相關是從研究不同的問題提出來的，但是二者的實質是相同的，

相關是一種褶積，褶積也是一種相關。”

網路上每個人都有發表自己觀點的權利，也有捍衛自己觀點的權利，

當網路上缺乏一個大家公認的權威時，說服別人就成了件比較困難的事。

temp_110 發表於 2008-1-7 21:43

如果看成運算規則，卷積就是乘法的另一種表示。

相關在形式上和卷積一樣，但是相關顯然有統計學上的含義。

[[i] 本帖最後由 temp_110 於 2008-1-7 21:48 編輯 [/i]]

quit2468 發表於 2008-1-17 10:49

根據定義而言卷積和相關根本就不是一個東西，硬要說聯絡，也就一個訊號——比如說x[k]的自相關可以寫成x[k]與x[-k]的卷積。

我對卷積的理解沒有樓上各位那麼深，我覺得單吧卷積隔離開來看什麼都不是，卷積無非兩個作用，一是將時域與頻域的運算聯絡上，二是訊號通過一個系統還有系統的級聯就是用卷積來表示的——就像1+1+1可以用1*3表示一樣，這裡面乘法沒有什麼意義可言

bluebolt 發表於 2008-1-19 20:06

根據定義而言卷積和相關根本就不是一個東西，硬要說聯絡，也就一個訊號——比如說x[k]的自相關可以寫成x[k]與x[-k]的卷積。

我對卷積的理解沒有樓上各位那麼深，我覺得單吧卷積隔離開來看什麼都不是，卷積無非兩個作 ...

同意樓上的觀點 卷積與相關不一樣

若要說相同那只是在數學表達形式上類似

從物理意義上說

卷積主要用於求輸入訊號經過系統後的響應 得出的結果仍然是時域上的函式

相關則是求兩個訊號的相似程度 得出的結果可用一個歸一化的引數表示

obnewux 發表於 2008-1-27 11:29

個人也認為卷積和相關是不同的。剛做了一個專案涉及到相關。假設將訊號x(n)和y(n)相關，那麼為了利用FFT變換，可以這樣實現。

將x(n)倒序，即將x(1),x(2),……,x(n)變為X=[x(n),x(n-1),……,x(1)]，將其作FFT為XF。對訊號y(n)直接作FFT變為YF。那麼相關值就等於z=ifft(XF*YF)。

因此，只有將其中一個訊號反序，再與另一個訊號卷積，才可以等效於相關。

obnewux 發表於 2008-1-27 11:36

另外，我還想問個問題：

在我們作專案的時候對於卷積處理都是如下進行的，不知道對不對。

假設輸入x(i)，濾波器係數為h(i)，長度分別為m和n。x(i)通過濾波器相當於卷積，那麼輸出y(i)的長度應該為m+n-1。而我們在模擬中為了保證輸入輸出長度一致，我們取了y(i)的中間部分作為輸出，即i=[1:n/2]以及i=[m+n-1-n/2:m+n-1]這部分的資料就不要了。中間部分長度剛剛是m。

不知道這樣處理對不對

請大家指教。

hjihxb 發表於 2008-2-10 17:09

卷積與相關類似在數學上表現為乘積和，但卷積需要反摺，而相關不需要，

因此相同的兩個數列卷積與相關是不同的。

asdf229955 發表於 2008-3-25 17:47

卷積是分析數學中一種重要的運算。設: <math> f(x)</math>,<math>g(x)</math>是R1上的兩個可積函式，作積分：

<math> \int f(\tau) g(x - \tau)\, d\tau</math>

可以證明，關於幾乎所有的x∈(－∞，∞) ，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個積分就定義了一個新函式h(x)，稱為f與g的卷積，記為h（x）＝（f *g）（x）。容易驗證，（f *g）（x）＝（g *f）（x），並且（f *g）（x）仍為可積函式。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

卷積與傅立葉變換有著密切的關係。利用一點性質，即兩函式的傅立葉變換的乘積等於它們卷積後的傅立葉變換，能使傅立葉分析中許多問題的處理得到簡化。

由卷積得到的函式（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特別當g為具有緊支集的光滑函式，f 為區域性可積時，它們的卷積（f *g）（x）也是光滑函式。利用這一性質，對於任意的可積函式 ， 都可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函式列fs（x），這種方法稱為函式的光滑化或正則化。

卷積的概念還可以推廣到數列 、測度以及廣義函式上去。

定義

函式f 與g 的卷積記作<math>f \star g</math>，它是其中一個函式翻轉並平移後與另一個函式的乘積對於平移量的積分。

<math>(f \star g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau</math>

積分割槽間取決於f 與g 的定義域。

對於定義在離散域的函式，卷積定義為

<math>(f \star g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]} </math>

[編輯]多元函式卷積

按照翻轉、平移、積分的定義，還可以類似的定義多元函式上的積分：

<math>(f \star g )(t_1,t_2,\cdots,t_n) = \int\int\cdots\int f(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n) g(t_1 - \tau_1,t_2 - \tau_2,\cdots,t_n - \tau_n,)\, d\tau_1 d\tau_2 \cdots d\tau_n</math>

性質

各種卷積運算元都滿足下列性質

交換律

<math>f \star g = g \star f \,</math>

結合律

<math>f \star (g \star h) = (f \star g) \star h \,</math>

分配律

<math>f \star (g + h) = (f \star g) + (f \star h) \,</math>

數乘結合律

<math>a (f \star g) = (a f) \star g = f \star (a g) \,</math>

其中<math>a</math>為任意實數（或複數）。

微分定理

<math>\mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \,</math>

其中Df 表示f的微分，如果在離散域中則是指差分運算元，包括前向差分與後向差分兩種：

前向差分：<math>\mathcal{D}^+f(n) = f(n+1) - f(n)</math>

後向差分：<math>\mathcal{D}^-f(n) = f(n) - f(n-1)</math>

卷積定理

卷積定理指出，函式卷積的傅立葉變換是函式傅立葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應於頻域中的乘積。

<math> \mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g) </math>

其中<math>\mathcal{F}(f)</math>表示f 的傅立葉變換。

這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅立葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在區域性緊緻的阿貝爾群上定義的傅立葉變換。

利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為<math>n</math>的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做<math>2n-1</math>組對位乘法，其計算複雜度為<math>\mathcal{O}(n^2)</math>；而利用傅立葉變換將序列變換到頻域上後，只需要一組對位乘法，利用傅立葉變換的快速演算法之後，總的計算複雜度為<math>\mathcal{O}(n\log n)</math>。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

在群上的卷積

若G 是有某m測度的群（例如Hausdorff空間上Harr測度下區域性緊緻的拓撲群），對於G 上m-Lebesgue可積的實數或複數函式f 和g，可定義它們的卷積：

<math>(f \star g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,</math>

對於這些群上定義的卷積同樣可以給出諸如卷積定理等性質，但是這需要對這些群的表示理論（group representation）以及調和分析的Peter-Weyl定理。

應用

卷積在工程和數學上都有很多應用：

統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。

概率論中，兩個統計獨立變數X與Y的和的概率密度是X和Y的概率密度的卷積。

聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函式的卷積表示。

電子工程與訊號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入訊號與系統函式（系統的衝擊響應）做卷積獲得。

物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。

buzhiyao 發表於 2008-3-27 10:41

卷積可以看作是加權的過程，從這個意義講就是訊號處理中的濾波器，

也可以視為求兩個相卷的函式的相似程度的過程，比如數學中的求內積

zbbzyp 發表於 2008-3-27 21:02

另外，我還想問個問題：

在我們作專案的時候對於卷積處理都是如下進行的，不知道對不對。

假設輸入x(i)，濾波器係數為h(i)，長度分別為m和n。x(i)通過濾波器相當於卷積，那麼輸出y(i)的長度應該為m+n-1。而我們在模擬中為了保證輸入輸出長度一致，我們取了y(i)的中間部分作為輸出，即i=[1:n/2]以及i=[m+n-1-n/2:m+n-1]這部分的資料就不要了。中間部分長度剛剛是m。

不知道這樣處理對不對

請大家指教。

這樣作可能會出問題的。

在數字訊號處理中，一個有限長度為m的訊號，通過一個長度為n的系統（單位衝激響應）；

那麼輸出也應該取m點。

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