在講解二分搜尋樹之前，我想先講清楚一個東西，那就是遞迴，因為在後面的插入，查詢操作都是利用遞迴去查詢的，而且對於遞迴的理解也是一個難點，因此，以下是我對於遞迴的理解。

，對於遞迴，我們不能用人腦去展開來想，所以，我們只需要把遞迴過程中的兩個過程給想清楚就好了，一個是遞迴發生在終止條件的時候，還有一個是遞迴在不斷縮小規模的過程中其中的一個情況，具體我們可以見下圖：

我們把最下面的方框理解為遞迴的出口，也就是遞迴發生終止時的情況，而上面的方框，我們理解為在終止條件發生前的前一個情況，因為一個人遞迴操作就是由這兩種情況組成的，因此，我們只需要理清上面的兩種情況就能夠很好的理解遞迴了。

對於涉及到遞迴的問題，我們可以按照上圖的思路來寫出遞迴函式。

1.對終止條件進行判斷  if(終止條件成立）

2.如果有必要的話，對傳入的引數改造，或者自己產生引數

3.把我們產生的目標引數返回給上一層

4.接受來自上上層傳遞過來的引數

5.對傳遞過來的引數進行改造，把目標引數發往下一層級

6.接受下一層級往上傳過來的目標引數，有必要的話對其利用或者改造。

7.把目標引數（需要返回的引數）發往上一層。

理解了上面的7點後，對於下面的遞迴操作就不難理解了。

我們首先來看看往二叉樹中插入節點的方法：

// 向以node為根的二分搜尋樹中, 插入節點(key, value), 使用遞迴演算法
    // 返回插入新節點後的二分搜尋樹的根
    Node* insert(Node *node, Key key, Value value){

        if( node == NULL ){
            count ++;
            return new Node(key, value);
        }

        if( key == node->key )
            node->value = value;
        else if( key < node->key )
            node->left = insert( node->left , key, value);
        else    // key > node->key
            node->right = insert( node->right, key, value);

        return node;
    }
};
 

if( node == NULL )

第二點：如果有必要的話，對傳入的引數改造，或者自己產生引數。

newNode(key, value)

第三點：把我們產生的目標引數返回給上一層。

returnnewNode(key, value);

第四點：接受來自上上層傳遞過來的引數。

Node *node, Key key, Value value

第五點：對傳遞過來的引數進行改造，把目標引數發往下一層級。

insert( node->left , key, value);

insert( node->right, key, value)

第六點：接受下一層級往上傳過來的目標引數，有必要的話對其利用或者改造。

node->left = insert( node->left , key, value);

node->right = insert( node->right, key, value);

第七點：把目標引數（需要返回的引數）發往上一層。

return node;

根據以上的分析，我們發現遞迴函式大多符合上面的七點，因此我們只要按照上面的7

點為根本，然後再加上一些額外的操作，則一個遞迴函式差不多就寫好了。

二叉樹的查詢（查詢二叉樹中是否存在某個key）：

 // 檢視以node為根的二分搜尋樹中是否包含鍵值為key的節點, 使用遞迴演算法
    bool contain(Node* node, Key key){

        if( node == NULL )
            return false;

        if( key == node->key )
            return true;
        else if( key < node->key )
            return contain( node->left , key );
        else // key > node->key
            return contain( node->right , key );
    }

 // 在以node為根的二分搜尋樹中查詢key所對應的value, 遞迴演算法
    // 若value不存在, 則返回NULL
    Value* search(Node* node, Key key){

        if( node == NULL )
            return NULL;

        if( key == node->key )
            return &(node->value);
        else if( key < node->key )
            return search( node->left , key );
        else // key > node->key
            return search( node->right, key );
    }
};