前言： 僅個人小記

前提

某點的梯度是一個向量，比如對於z=f(x,y)的點(x0,y0,z0)$(x_0,y_0,z_0)$處的梯度為二維向量∇f(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))=fx(x0,y0)i⃗ +fy(x0,y0)j⃗ $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))=f_x(x_0,y_0)\overrightarrow{i}+f_y(x_0,y_0)\overrightarrow{j}$.，這個向量使用的前提是在該點的函式的偏導數不僅要存在而其要連續(文末證明偏導連續是可微分的充要條件)。
因為某點的偏導數連續才能保證該點可微分，即有

Δz=fxΔx+fyΔy+o(Δx2+Δy2−−−−−−−−−√)$$\mathrm{\Delta }z=f_x\mathrm{\Delta }x+f_y\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{{\mathrm{\Delta }x}^2+{\mathrm{\Delta }y}^2})$$當Δx2+Δy2−

−−−−−−−−√→0$\sqrt{{\mathrm{\Delta }x}^2+{\mathrm{\Delta }y}^2}\to 0$時，必有Δx→和Δy→0$\mathrm{\Delta }x\to 和\mathrm{\Delta }y\to 0$，上述公式重新表述為，
dz=fxdx+fydy$$dz=f_{x}dx+f_{y}dy$$注意到，只要Δx2+Δy2−−−−−−−−−√→0$\sqrt{{\mathrm{\Delta }x}^2+{\mathrm{\Delta }y}^2}\to 0$，這個式子就滿足。

方向導數

注： 只討論在“偏導數連續”這個前提條件下的偏導數
方向導數指的是，沿著某個方向l⃗ $\overrightarrow{l}$發生移動，相應的函式值產生的了一定的變化。函式值的變化和該方向上的移動量當移動量趨向於0的時候的比值。
方向導數值用來描述陡峭程度。
方向l⃗ $\overrightarrow{l}$與x軸正向的夾角為α$\alpha$,記β=π/2−α$\beta =\pi /2-\alpha$，記方向l⃗ $\overrightarrow{l}$上產生的增量為Δl=Δx2+Δy2−−−−

−−−−−√$\mathrm{\Delta }l=\sqrt{{\mathrm{\Delta }x}^2+{\mathrm{\Delta }y}^2}$，則Δx=cosαΔl,Δy=cosβΔl$\mathrm{\Delta }x=cos\alpha \mathrm{\Delta }l,\mathrm{\Delta }y=cos\beta \mathrm{\Delta }l$。
所以當Δl=Δx2+Δy2−−−−−−−−−√→0$\mathrm{\Delta }l=\sqrt{{\mathrm{\Delta }x}^2+{\mathrm{\Delta }y}^2}\to 0$，根據滿足

相關推薦

梯度-lagrange乘子法-偏導數連續必然可微分

前言： 僅個人小記 前提 某點的梯度是一個向量，比如對於z=f(x,y)的點(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)處的梯度為二維向量∇f(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))=fx(x0,y0)i⃗ +fy(x0,y0)j⃗ ∇f(

函式連續，函式可微，函式可導，偏導數存在，偏導數連續之間的關係

1、可導      即設y=f(x)是一個單變數函式， 如果y在x=x0處存在導數y′=f′(x),則稱y在x=x[0]處可導。      如果一個函式在x0處可導，那麼它一定在x0處是連續函式。 函式可導定義： （1）設f(x)在x0及其附近有定義,則當a趨向於0時,若

直觀理解梯度，以及偏導數、方向導數和法向量等

目錄 寫在前面 偏導數 方向導數 梯度 等高線圖中的梯度 隱函式的梯度 小結 參考 部落格：blog.shinel

深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件

比較 log lan 條件 出了 net csdn art blank 這篇將拉格朗日函數比較全面，其中明確給出了拉格朗日函數，拉格朗日乘子的定義 深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Mu

（轉）導數、偏導數、方向導數、梯度、梯度下降

原作者：WangBo_NLPR 原文：https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864 原作者：Eric_LH 原文：https://blog.csdn.net/eric_lh/article/details/789944

偏導數，全導數，方向導數，偏微分，全微分，梯度

學習到機器學習線性迴歸和邏輯迴歸時遇到了梯度下降演算法，然後順著扯出了一堆高數的相關概念理論：導數、偏導數、全微分、方向導數、梯度，重新回顧它們之間的一些關係，從網上和教材中摘錄相關知識點。 這段是我的簡單總結，如果看不懂沒關係，先看下面的定義 通過函式的極限定義出導數

導數，偏導數，方向導數與梯度的定義與聯絡

一、導數（derivative） 導數，是我們最早接觸的一元函式中定義的，可以在 xy 平面直角座標系中方便的觀察。當 Δx→0時，P0處的導數就是因變數y在x0處的變化率，反映因變數隨自變數變化的快慢；從幾何意義來講，函式在一點的導數值就是過這一點切線的斜率。

領近點梯度下降法、交替方向乘子法、次梯度法使用例項（Python實現）

簡述 凸優化會很詳細地講解這三個演算法，這個學期剛好有這門課。 這裡以期末的大作業的專案中的一個題目作為講解。 題目 考慮線性測量b=Ax+e，其中b為50維的測量值，A為50*100維的測量矩陣，x為100維的未知稀疏向量且稀疏度為5，e為50維的測量噪聲。從b和A中恢復x

深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件 (約束優化問題)

在求解最優化問題中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）條件是兩種最常用的方法。在有等式約束時使用拉格朗日乘子法，在有不等約束時使用KKT條件。　　我們這裡提到的最優化問題通常是指對於給定的某一函式，求其在指

導數、微分、偏導數、全微分、方向導數、梯度的定義與關係

學習到機器學習線性迴歸和邏輯迴歸時遇到了梯度下降演算法，然後順著扯出了一堆高數的相關概念理論：導數、偏導數、全微分、方向導數、梯度，重新回顧它們之間的一些關係，從網上和教材中摘錄相關知識點。 通過函式的極限定義出導數(以一元函式為例) 函式f(x)在點x0可

拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT條件

一：前言 如果我們現實生活中的多元值求最優化的問題，我們會遇到一下三種場景： 無條件約束的優化問題 有等式約束的優化問題 有不等式約束的優化問題 而拉格朗日乘子法和KKT條件是現實生活中求解這類優化問題兩種非常重要的求值方法。這裡我們將從上邊的上個場景

【微積分】導數，偏導數，方向導數與梯度

導數（derivative） 導數，是我們最早接觸的一元函式中定義的，可以在 xy 平面直角座標系中方便的觀察。當 Δx→0Δx→0 時，P0P0 處的導數就是該點的切線的斜率。 偏導數（partial derivative） 偏導數

導數、偏導數、梯度

text ima col 也有 vat ces love 等價 都在 一、導數（derivative） 導數，是我們最早接觸的一元函數中定義的，可以在 xy 平面直角坐標系中方便的觀察。當 Δx→0時，P0處的導數就是因變量y在x0處的變化率

《FDTD electromagnetic field using MATLAB》讀書筆記之一階、二階偏導數差商近似

lec ges 讀書筆記 ctr 技術分享 分享 using alt net 《FDTD electromagnetic field using MATLAB》讀書筆記之一階、二階偏導數差商近似

拉格朗日乘子法的幾何解釋

font nbsp 幾何 lam 極值 而在 相交 排除 最大 問題：函數f(x,y,z)在 g(x,y,z)=0 的約束下取極值（最大或最小) f(x,y,z)=c c取定義域中的任意值時形成空間中一系列曲面 S_f，這些曲面互相平行（不允許相交--等位面|線

偏導數

有一個 class b- text 處的 變量 定義 art 微積分 導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量X在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在&Delt

拉格朗日乘子法和KKT條件

數值 想象 radi 如果 ont inf 解決 tex spa 1. 拉格朗日乘子(Lagrange Multiplier)法 假設函數z=f(x,y)，求該函數的最小值，如果沒有約束條件，則可以表示為minf(x,y)，要求出minf(x,y)很簡單，根據Fermat

偏導數與全導數的關係 以及 偏微分與全微分的關係

1.偏導數 代數意義  偏導數是對一個變數求導,另一個變數當做數 對x求偏導的話y就看作一個數,描述的是x方向上的變化率 對y求偏導的話x就看作一個數,描述的是y方向上的變化率 幾何意義 對x求偏導是曲面z=f(x,y)在x方向上的切線 對y求偏導是曲面z=f(x,y)在x方向

拉格朗日乘子法及KKT條件證明

一、簡介 在取有約束條件的優化問題時，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件是非常重要的兩個求取方法，對於等式約束的優化問題，可以應用拉格朗日乘子法去求取最優值；如果含有不等式約束，可以應用KKT條件去求取。當然，這兩個方法求得的結果只是必要條件，只有

機器學習 --- 拉格朗日乘子法和KTT條件

本篇文章主要為之後的支援向量機打下數學基礎   一、拉格朗日乘子法的目的 拉格朗日乘子法將原始的約束問題轉換成求解無約束優化問題。 對形如： 通過拉格朗日乘子法轉化成： 通俗地說就是轉換目標函式，把約束條件去掉。