問題：

1. 有一個無序、元素個數為2n的正整數陣列，要求：如何能把這個陣列分割為兩個子陣列，子陣列的元素個數不限，並使兩個子陣列之和最接近。

2. 有一個無序、元素個數為2n的正整數陣列，要求：如何能把這個陣列分割為元素個數為n的兩個陣列，並使兩個子陣列之和最接近。

1. 解法1：

由於對兩個子陣列和最接近的判斷不太直觀，我們需要對題目進行適當轉化。我們知道當一個子陣列之和最接近原陣列之和sum的一半時，兩個子陣列之和是最接近的。所以轉化後的題目是：從2n個數中選出任意個數，其和儘量接近於給定值sum/2。

這個問題儲存的是從前k個數中選取任意個數，且其和為s的取法是否存在dp[k][s]。之所以將選出的數之和放在下標中，而不是作為dp[k]的值，是因為那種做法不滿足動態規劃的前提——最優化原理，假設我們找到最優解有k個數p1p2...pk（選出的這k個數之和是最接近sum/2的），但最優解的前k-1個數p1p2...pk-1之和可能並不是最接近sum/2的，也就是說可能在訪問到pk之前有另一組數q1q2....qk-1其和相比p1p2...pk-1之和會更接近sum/2

外階段：在前k1個數中進行選擇，k1=1,2...2*n。
內階段：從這k1個數中任意選出k2個數，k2=1,2...k1。

狀態：這k2個數的和為s，s=1,2...sum/2。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];

// dp[k][s]表示從前k個數中去任意個數，且這些數之和為s的取法是否存在
int main()
{
	int n, i, k1, k2, s, u;
	cin >> n;
	for (i=1; i<=2*n; i++)
		cin >> A[i];
	int sum = 0;
	for (i=1; i<=2*n; i++)
		sum += A[i];
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	dp[0][0]=true;
	// 外階段k1表示第k1個數，內階段k2表示選取數的個數
	for (k1=1; k1<=2*n; k1++)			// 外階段k1
	{
		for (k2=k1; k2>=1; k2--)		// 內階段k2
			for (s=1; s<=sum/2; s++)	// 狀態s
			{
				//dp[k1][s] = dp[k1-1][s];
				// 有兩個決策包含或不包含元素k1
				if (s>=A[k1] && dp[k2-1][s-A[k1]])
					dp[k2][s] = true;
			}
	}
	// 之前的dp[k][s]表示從前k個數中取任意k個數，經過下面的步驟後
	// 即表示從前k個數中取任意個數
	for (k1=2; k1<=2*n; k1++)
		for (s=1; s<=sum/2; s++)
			if (dp[k1-1][s]) dp[k1][s]=true;
	// 確定最接近的給定值sum/2的和
	for (s=sum/2; s>=1 && !dp[2*n][s]; s--);
	printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);
}
 

解法2：

由於題目不限制子陣列的元素個數，限制條件少，可以進行優化。實際上解法1的思路主要是為了題目2做鋪墊，使得題目2的解法不至於太難理解。該題實際上有更簡單的解法，該解法的思路和0-1揹包問題的思路是一樣的。

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];

// dp[k][s]表示從前k個數中取任意個數，且這些數之和為s的取法是否存在
int main()
{
	int k, s, u, i, n;
	cin >> n;
	for (i=1; i<=2*n; ++i)
		cin >> A[i];
	int sum = 0;
	for (i=1; i<=2*n; ++i)
		sum += A[i];
	dp[0][0] = true;
	// 階段k表示第k個數
	for (k=1; k<=2*n; ++k)
		// 注意狀態可取0
		for (s=0; s<=(sum>>1); ++s)
		{
			// 加上第k個數,或不加它所能得到的和
			if (s>=A[k])
				dp[k][s] = dp[k-1][s-A[k]] || dp[k-1][s];
			else
				dp[k][s] = dp[k-1][s];
		}
	for (s=(sum>>1); s>=1 && !dp[2*n][s]; --s);
	cout << sum-2*s;
}
 
 

2. 解法：

但本題還增加了一個限制條件，即選出的物體數必須為n，這個條件限制了內階段k2的取值範圍，並且dp[k][s]的含義也發生變化。這裡的dp[k][s]表示從前k個數中取k個數，且k不超過n，且這些數之和為s的取法是否存在。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];

// 題目可轉換為從2n個數中選出n個數，其和儘量接近於給定值sum/2
int main()
{
	int n, i, k1, k2, s, u;
	cin >> n;
	for (i=1; i<=2*n; i++)
		cin >> A[i];
	int sum = 0;
	for (i=1; i<=2*n; i++)
		sum += A[i];
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	dp[0][0]=true;
	// 對於dp[k][s]要進行u次決策，由於階段k的選擇受到決策的限制，
	// 這裡決策選擇不允許重複，但階段可以重複，比較特別
	for (k1=1; k1<=2*n; k1++)				// 外階段k1
		for (k2=min(k1,n); k2>=1; k2--)		// 內階段k2
			for (s=1; s<=sum/2; s++)	// 狀態s
				// 有兩個決策包含或不包含元素k1
				if (s>=A[k1] && dp[k2-1][s-A[k1]])
					dp[k2][s] = true;
	// 確定最接近的給定值sum/2的和
	for (s=sum/2; s>=1 && !dp[n][s]; s--);
	printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);
}