基礎知識

基本概念

    程式 = 演算法 + 資料結構

    資料結構是計算機儲存、組織資料的方式。

    資料結構是指相互之間存在一種或多種特定關係的資料元素的集合。

    通常情況下，精心選擇的資料結構可以帶來更高的執行或者儲存效率。

    資料結構往往同高效的檢索演算法和索引技術有關。

常見資料結構

    集合：set，multiset

    線性結構：陣列、連結串列、佇列、棧

    樹形結構：二叉樹及其變型，線段樹，巴拉巴拉

    圖形結構：各種圖

棧和佇列

棧Stack

    先進後出(FILO)

佇列Queue

    先進先出(FIFO)
 

樹和堆

樹的定義

樹（tree）是包含n（n>0）個結點的有窮集，其中：

1. 每個元素稱為結點（node）
2. 有一個特定的結點被稱為根結點或樹根（root）
3. 除根結點之外的其餘資料元素被分為m（m≥0）個互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一個集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵樹，被稱作原樹的子樹（subtree）。
4. 空集也是一棵樹
   樹去掉根節點叫做森林

樹的定義的等價命題

• 設G=<V,E>是n階m條邊的無向圖，則下面各命題是等價的：
  • G 是樹.
  • G 中任意兩個頂點之間存在惟一的路徑.
  • G 中無迴路且 m=n-1.
  • G 是連通的且 m=n-1.
  • G 是連通的且 G 中任何邊均為橋.
  • G 中沒有迴路，但在任何兩個不同的頂點之間加一條新邊，在所得圖中得到惟一的一個含新邊的圈.

樹的性質

• 如果G是樹，那麼邊數=頂點數-1
• 樹中任意兩點存在唯一路徑
• 樹是連通的而且任何邊均為橋
• 在樹中不同兩點加上一個邊會得到唯一一個圈

二叉樹

• 二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”和“右子樹”。二叉樹常被用於實現二叉查詢樹和二叉堆。
• 一棵深度為k，且有2^(k-1)個節點稱之為滿二叉樹，一棵二叉樹第i層最多有2^(i-1)個節點；
• 深度為k，有n個節點的二叉樹，當且僅當其每一個節點都與深度為k的滿二叉樹中，序號為1至n的節點對應時，稱之為完全二叉樹
  。

任何一個包含n個節點完全二叉樹(滿足從根節點開始，依次從上往下，從左往右遍歷子節點，進行標記。如上圖)，對於任何下標為i的節點來說，1≤i≤n 有：

• 當i≠1時，parent(i)在⌊i/2⌋.i=1時,i是樹根，沒有父節點。
• 當2i≤n時，lchild(i)在2i。2i>n，i沒有左孩子。
• 當2i+1≤n時，rchild(i)在2i+1.2i+1>n,i沒有右孩子。

堆(Heap)

• 最大堆:每個節點的值都大於等於它的孩子節點。
• 最小堆:每個節點的值都小於等於它的孩子節點。

堆的儲存

• 可以理解為二叉樹的一種，是節點間有序關係的完全二叉樹，所以可以用陣列來表示。
• 對於下標為i的節點，它的子樹的左節點的下標為2i,右節點為2i+1，父親的節點下標為i/2（向下取整）。
• 在程式設計中，使用位運算來代替直接*2可以提高執行速度。-
• 某些編譯器中會把一些特定的乘法運算改寫為位運算。

字首、中綴、字尾表示式轉換與求值

• 字首表示式：運算子位於運算元之前。
• 中綴表示式：操作符處於運算元的中間。中綴表示式是人們常用的算術表示方法。(但是計算機計算中綴表示式是複雜的，所以一般需要將中綴表示式轉換成字首或者字尾表示式)
• 字尾表示式：運算子位於運算元之後。

舉例：
(3+4)×5-6 中綴表示式
-×+3456 字首表示式
34+5×6- 字尾表示式

字首表示式的計算機求值：

從右至左掃描表示式，遇到數字時，將數字壓入堆疊，遇到運算子時，彈出棧頂的兩個數，用運算子對它們做相應的計算（棧頂元素 op 次頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到表示式最左端，最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字首表示式“- × + 3 4 5 6”：

1. 從右至左掃描，將6、5、4、3壓入堆疊；
2. 遇到+運算子，因此彈出3和4（3為棧頂元素，4為次頂元素，注意與字尾表示式做比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
3. 接下來是×運算子，因此彈出7和5，計算出7×5=35，將35入棧；
4. 最後是-運算子，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。

字尾表示式的計算機求值：

與字首表示式類似，只是順序是從左至右：
從左至右掃描表示式，遇到數字時，將數字壓入堆疊，遇到運算子時，彈出棧頂的兩個數，用運算子對它們做相應的計算（次頂元素 op 棧頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到表示式最右端，最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字尾表示式“3 4 + 5 × 6 -”：

1. 從左至右掃描，將3和4壓入堆疊；
2. 遇到+運算子，因此彈出4和3（4為棧頂元素，3為次頂元素，注意與字首表示式做比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
3. 將5入棧；
4. 接下來是×運算子，因此彈出5和7，計算出7×5=35，將35入棧；
5. 將6入棧；
6. 最後是-運算子，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。

將中綴表示式轉換為字首表示式：

1. 初始化兩個棧：運算子棧S1和儲存中間結果的棧S2；
2. 從右至左掃描中綴表示式；
3. 遇到運算元時，將其壓入S2；
4. 遇到運算子時，比較其與S1棧頂運算子的優先順序：
   • 如果S1為空，或棧頂運算子為右括號“)”，則直接將此運算子入棧；
   • 否則，若優先順序比棧頂運算子的較高或相等，也將運算子壓入S1；
   • 否則，將S1棧頂的運算子彈出並壓入到S2中，再次轉到4-1與S1中新的棧頂運算子相比較；
5. 遇到括號時：
   • 如果是右括號“)”，則直接壓入S1；
   • 如果是左括號“(”，則依次彈出S1棧頂的運算子，並壓入S2，直到遇到右括號為止，此時將這一對括號丟棄；
6. 重複步驟(2)至(5)，直到表示式的最左邊；
7. 將S1中剩餘的運算子依次彈出並壓入S2；
8. 依次彈出S2中的元素並輸出，結果即為中綴表示式對應的字首表示式。

將中綴表示式轉換為字尾表示式：

1. 初始化兩個棧：運算子棧S1和儲存中間結果的棧S2；
2. 從左至右掃描中綴表示式；
3. 遇到運算元時，將其壓入S2；
4. 遇到運算子時，比較其與S1棧頂運算子的優先順序：
   • 如果S1為空，或棧頂運算子為左括號“(”，則直接將此運算子入棧；
   • 否則，若優先順序比棧頂運算子的高，也將運算子壓入S1（注意轉換為字首表示式時是優先順序較高或相同，而這裡則不包括相同的情況）；
   • 否則，將S1棧頂的運算子彈出並壓入到S2中，再次轉到4-1與S1中新的棧頂運算子相比較；
5. 遇到括號時：
   • 如果是左括號“(”，則直接壓入S1；
   • 如果是右括號“)”，則依次彈出S1棧頂的運算子，並壓入S2，直到遇到左括號為止，此時將這一對括號丟棄；
6. 重複步驟(2)至(5)，直到表示式的最右邊；
7. 將S1中剩餘的運算子依次彈出並壓入S2；
8. 依次彈出S2中的元素並輸出，結果的逆序即為中綴表示式對應的字尾表示式（轉換為字首表示式時不用逆序）。