線性可分支援向量機

定義

給定線性可分訓練資料集，通過間隔最大化或等價求解相應凸二次規劃問題學習得到的分離超平面為
w∗⋅x+b∗=0
以及相應的分類決策函式
f(x)=sign(w∗⋅x+b∗)
稱為線性可分支援向量機。

函式間隔與幾何間隔

函式間隔

對於給定的訓練資料集T和超平面(w,b)，定義超平面(w,b)關於樣本點(xi,yi)的函式間隔為
γ^i=yi(w⋅xi+b)
定義超平面(w,b)關於訓練資料集T的函式間隔為超平面(w,b)關於T中所有樣本點(xi,yi)的函式間隔之最小值，即
γ^=mini=1,..

.,Nγ^i

函式間隔可以表示分類預測的正確性和確信度，但是在選擇分離超平面時，只有函式間隔還不夠。因為成比例地改變w和b，超平面沒有改變，函式間隔卻變為2倍。

幾何間隔

對分離超平面的法向量w進行約束，使得間隔是確定的，這時就成了幾何間隔。
γi=yi(w⋅xi+b||w||)
γ=mini=1,...,Nγi
超平面關於樣本點的幾何間隔一般是例項點到超平面的帶符號距離，當樣本點被正確分類時，就是距離。

間隔最大化

最大間隔分離超平面

求一個幾何間隔最大的分離超平面。

maxw,bγs.t.yi(w⋅xi+b||w||)≥γ,i=1,2,...,N
根據幾何間隔與函式間隔關係，改寫為
max

w,bγ^||w||s.t.yi(w⋅xi+b)≥γ^,i=1,2,...,N
函式間隔γ^的取值並不影響最優化問題的解。取γ^=1,並將最大化1||w||轉化為等價的最小化12||w||2。
得到以下的線性可分SVM的最優化問題。
minw,b12||w||2 (7.13)s.t.yi(w⋅xi+b)−1≥0 (7.14)
這是一個凸優化問題同時是一個凸二次規劃問題。

支援向量和間隔邊界

線上性可分情況下，訓練資料集的樣本點中與分離超平面距離最近的樣本點的例項稱為支援向量。也就是使得不等式約束yi(w⋅xi+b)−1≥0等號成立的點，即
yi(w⋅xi+b)−1=0
正例點和負例點支援向量所在的間隔邊界之間的距離為2

||w||。
在決定分離超平面時，只有支援向量起作用。

學習的對偶演算法

對於原始最優化問題，應用拉格朗日對偶性，通過求解對偶問題的到原始問題的最優解，這就是線性可分SVM的對偶演算法。
優點
1. 對偶問題往往更容易求解
2. 自然引入和函式，進而推廣到非線性分類問題

拉格朗日函式

L(w,b,a)=12||w||2−

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