這篇文章是擼主要介紹人臉識別經典方法的第一篇，後續會有其他方法更新。特徵臉方法基本是將人臉識別推向真正可用的第一種方法，瞭解一下還是很有必要的。特徵臉用到的理論基礎PCA在另一篇部落格裡： 。本文的參考資料附在最後了^_^

步驟一：獲取包含M張人臉影象的集合S。在我們的例子裡有25張人臉影象（雖然是25個不同人的人臉的影象，但是看著怎麼不像呢，難道我有臉盲症麼），如下圖所示哦。每張影象可以轉換成一個N維的向量（是的，沒錯，一個畫素一個畫素的排成一行就好了，至於是橫著還是豎著獲取原影象的畫素，隨你自己，只要前後統一就可以），然後把這M個向量放到一個集合S裡，如下式所示。

步驟二：在獲取到人臉向量集合S後，計算得到平均影象Ψ

步驟三：計算每張影象和平均影象的差值Φ ，就是用S集合裡的每個元素減去步驟二中的平均值。

步驟四：找到M個正交的單位向量u_n，這些單位向量其實是用來描述Φ （步驟三中的差值）分佈的。u_n 裡面的第k（k=1,2,3...M)個向量u_k 是通過下式計算的，

當這個λk（原文裡取了個名字叫特徵值）取最小的值時，u_k

上面的等式使得u_k 為單位正交向量。計算上面的u_k 其實就是計算如下協方差矩陣的特徵向量：

其中

對於一個NxN（比如100x100）維的影象來說，上述直接計算其特徵向量計算量實在是太大了（協方差矩陣可以達到10000x10000），所以有了如下的簡單計算。

步驟四另解：如果訓練影象的數量小於影象的維數比如（M<N^2)，那麼起作用的特徵向量只有M-1個而不是N^2個（因為其他的特徵向量對應的特徵值為0），所以求解特徵向量我們只需要求解一個NxN的矩陣。這個矩陣就是步驟四中的AA^T ，我們可以設該矩陣為L，那麼L的第m行n列的元素可以表示為：

一旦我們找到了L矩陣的M個特徵向量v_l，那麼協方差矩陣的特徵向量u_l就可以表示為：

這些特徵向量如果還原成畫素排列的話，其實還蠻像人臉的，所以稱之為特徵臉（如下圖）。圖裡有二十五個特徵臉，數量上和訓練影象相等只是巧合。有論文表明一般的應用40個特徵臉已經足夠了。論文Eigenface for recognition裡只用了7個特徵臉來表明實驗。

步驟五：識別人臉。OK，終於到這步了，別繞暈啦，上面幾步是為了對人臉進行降維找到表徵人臉的合適向量的。首先考慮一張新的人臉，我們可以用特徵臉對其進行標示：

其中k=1,2...M,對於第k個特徵臉uk，上式可以計算其對應的權重，M個權重可以構成一個向量：

perfect，這就是求得的特徵臉對人臉的表示了！

那如何對人臉進行識別呢，看下式：

其中Ω代表要判別的人臉，Ωk代表訓練集內的某個人臉，兩者都是通過特徵臉的權重來表示的。式子是對兩者求歐式距離，當距離小於閾值時說明要判別的臉和訓練集內的第k個臉是同一個人的。當遍歷所有訓練集都大於閾值時，根據距離值的大小又可分為是新的人臉或者不是人臉的兩種情況。根據訓練集的不同，閾值設定並不是固定的。

參考資料：

1、Eigenface for Recognition：http://www.cs.ucsb.edu/~mturk/Papers/jcn.pdf

2、特徵臉維基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E8%84%B8

3、Eigenface_tutorial：http://www.pages.drexel.edu/~sis26/Eigenface%20Tutorial.htm