凸優化：

Minimize f(x)

Subject to   x∈C  (2.1)

f是一個凸函式，C是一個凸集，x是優化變數。我們一般將其寫作：

     (2.2)

即要求目標函式是凸函式，變數所屬集合是凸集合的優化問題。或者目標函式是凸函式，變數的約束函式是凸函式（不等式約束時），或者是仿射函式（等式約束時）。

而常見的範數函式是凸函式，一些範數約束形式的集合是凸集合。

常見的凸優化問題包括線性規劃、二次規劃、二次約束的二次規劃、半定規劃。

半定規劃：

易看出求L1範數相當於求線性規劃：

    (LP).  (2.3)

而L1範數是L0範數的凸近似。

該問題是一個對偶問題。同樣（不知道怎麼得出來的……）核範數有著半定規劃的特性：

 (2.4)

這個式子體現出譜範數與核範數是對偶問題（同樣看不出來作者怎麼看出來的……見後面的解釋）。

W的譜範數的限制條件（可行域？）是一個半定規劃限制因為它等價於：

                                   (2.5)

而(1.4)

是一個半定規劃，可以將 表示成與(2.4)對偶的半定規劃的最優值。

（可是這一段對偶來對偶去的明顯看不懂啊！）

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= trace()          AB意思是A-B是半正定矩陣

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這次參考 史加榮,鄭秀雲,周水生.矩陣補全演算法研究進展.電腦科學，其中寫：

(2.4)這個優化問題等價於：

                                                     

這個半定規劃問題的對偶規劃為：

得到關於對E.J.Candes的理解：
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譜範數是最大奇異值，核範數是奇異值之和，即一個是奇異值向量的L∞範數，一個是奇異值向量的L1範數。