一、前言

• 在單正則化SVM的基礎上，提出雙正則化引數的L2-SVM,獲得它的對偶形式，從而確定最優化的目標函式，結合梯度下降形成：Doupenalty gradient（一種新的SVM引數選擇方法）

• Doupenalty-Gradient方法在同時尋找 C+和C−$C^{+}和C^{-}$ 以及核引數這三個引數的最優值時，SVM的效能得到了極大的改善。

二、SVM演算法

2.1 SVM 原型演算法

min:s.t.12||w||2+C∑i=1Nξiyi[(w⋅xi)+b]⩾1−ξi(0)(1)$$\begin{array}{}\text{(0)}& min:& \frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum _{i=1}^N{\xi }_i\text{(1)}& s.t.& y_i[(w·x_i)+b]⩾1-{\xi }_i\end{array}$$

• ( 其中
  ξi⩾0,i=1,2,3...N${\xi }_i⩾0,i=1,2,\mathrm{3...}N$ )
• C>0$C>0$ 用來調節錯分樣本的錯誤比重
• ξi⩾0${\xi }_i⩾0$ 為鬆弛因子，代表錯分樣本的錯誤程度
• yi=±1$y_i=\pm 1$ 為樣本的類別標籤
• w$w$ 最優超平面法向量
• b$b$ 最有超平面的閾值

用對偶理論求解最優化，並引入核函式，求出式（1）的對偶形式：

maxs.t.判別函數:−12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyjk(xi,xj)+∑i=1Nαi∑j=1Nαiyi=0,0⩽αi⩽Cf(x)=sign(∑i=1Nαiyik(xi,x)+b)(2)(3)(4)$$\begin{array}{}\text{(2)}& max& -\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}k(x_i,x_{}\end{array}$$

j)+∑i=1Nαi(3)s.t.∑j=1Nαiyi=0,0⩽αi⩽C(4)判別函數:f(x)=sign(∑i=1Nαiyik(xi,x)+b)

αi${\alpha }_i$ 為Lagrange乘子，k(xi,xj)$k(x_i,x_j)$是核函式。式（3）的判別函式為 (4)

2.2 SVM 改進演算法 L2—SVM

我們把式子 (1) 稱為 L1$L_1$-SVM，它的改進演算法：二範數軟間隔SVM 稱為 L2$L_2$-SVM。詳情如下 (ξi⩾0,

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