最大子陣列

給定一個數組A[0,…,n-1]，求A的連續子陣列，使得該子陣列的和最大。
例如陣列： 1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5
最大子陣列：3, 10, -4, 7, 2

演算法分析

定義：字首和sum[i] = a[0] + a[1] + …+a[i]
則：a[i,j]=sum[j]-sum[i-1](定義sum[-1] = 0)
演算法過程
1. 求i字首sum[i]：
遍歷i：0≤i≤n-1
sum[i]=sum[i-1]+a[i]
2. 計算以a[i]結尾的子陣列的最大值對於某個i：遍歷0≤j≤i，求sum[j]的最小值m
sum[i]-m即為以a[i]結尾的陣列中最大的子陣列的值
3. 統計sum[i]-m的最大值， 0≤i≤n-1
1、2、3步都是線性的，因此，時間複雜度O(n)。

進一步的分析

記S[i]為以A[i]結尾的陣列中和最大的子陣列
則：S[i+1] = max(S[i]+A[i+1], A[i+1])
S[0]=A[0]
遍歷i： 0≤i≤n-1
動態規劃：最優子問題
時間複雜度：O(n)

Python程式碼

# 輸出最大子陣列的和
def max_subarray(li):
    if li is None or len(li) == 0:
        return 0
    s = li[0]  # 當前子串的和
    result = s  # 當前找到的最優解
    for i in range(len(li)):
        if
 
 s > 0:
            s += li[i]
        else:
            s = li[i]
        result = max(s, result)
    return result


# 除了輸出最大子陣列的和，還需要輸出最大子陣列本身
def max_subarray2(li):
    if li is None or len(li) == 0:
        return 0
    s = li[0]  # 當前子串的和
    result = s  # 當前找到的最優解
    fromIndex = toIndex = 0  # from=to=0
 

    fromIndexNew = 0  # 新的子陣列起點
    for i in range(len(li)):
        if s > 0:
            s += li[i]
        else:
            s = li[i]
            fromIndexNew = i
        if result < s:
            result = s
            fromIndex = fromIndexNew
            toIndex = i
    print(li[fromIndex:toIndex + 1])
    return result


if __name__ == '__main__':
    li = [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]
    result = max_subarray2(li)
    print(result)

輸出結果：
[3, 10, -4, 7, 2]
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