作為古希臘著名的數學家，畢達哥拉斯最重要的數學成果是證明了勾股定理。然而，具有戲劇性的是，由畢達哥拉斯建立的這一定理卻成了畢達哥拉斯學派教學信仰的“掘墓人”，並在數學界掀起了一場軒然大波。

在前面的介紹中，我們已經知道畢達哥拉斯及其學派把“萬物皆數”作為基本信念。在他們看來，一切事物和現象都可以歸結為整數與整數的比，這就是所謂“數的和諧”，而他們相信宇宙的本質就在於這種“數的和諧”。在這種觀念下，他們對幾何量進行了研究，讓我們看看他們是如何比較兩條線段長度的。

在比較兩條線段a與b（設a>b）的長度時，如果出現b恰好是a的正整數倍r，我們可以直接用a作為兩者的公共度量單位。更一般情況下a的正整數倍不等於b。這時，可以去找一條小線段d，使a可以分成d的某整數（比如n）倍，同時使b可以分成d的另一整數（比如m）倍，那麼畢達哥拉斯學派就把小線段d作為a與b的公共度量單位，並說線段a與b是可公約或可公度的

這個過程相當於先用短些的線段當尺子去量長的。如果一次量盡，度量結束；如果一次量不盡，就用餘數作為新的尺子去量那個短些的線段，如果量盡，度量結束；如果還量不盡，就再用新的餘數作為尺子繼續量下去，直到某一次餘數等於零，結束度量。這時，結束前一次的餘數就是我們要找的共同度量單位（輾轉相除法）。

對任意長度的兩條線段來說，畢達哥拉斯學派成員相信上面的操作過程總會在進行有限步後結束。他們相信：只要把單位線段取得適當的短，總可以把兩條線段同時量盡，而發現更小的度量單位只要有耐心就可以了。因此，任意兩個同類量是可通約的，或者說是可公度的。

給你一把尺子去量黑板的長和寬。假設結果是，長2米8分米，寬1米6分米8釐米。我們可以這樣分析：如果第三條線段用1米作為單位，長寬都不是整數倍；如果第三條線段去1分米，長是它的28倍，但寬是16.8倍，但還不是整數；但如果用1釐米，長是280被，寬是168倍，都是整數倍。你看，答案是肯定的。或許你說，上面用尺子量太不準確了。好，拿出你的新式武器：遊標卡尺或螺旋測微器來試試怎樣？當你費了九牛二虎之力時，我只需要輕描淡寫地說：毫米不行，你可以去微米，這總行了吧。

最終，當你玩夠了這一把戲時，你會相信：似乎在任何情況下，這樣的第三條線段都應該是存在的，只需將第三條線段取得很短很短就行了。毫無疑問，我們總可以使得兩條線段是第三條線段的整數倍！這樣的結論怎麼可能錯呢？我們已經通過實驗的方式證實了，任何兩條線段都是可以通約的，這一命題顯然是對的。無論憑直覺還是通過實驗我們都已經證明這是顛撲不滅的真理。於是，我們可以明白，當畢達哥拉斯學派提出：“任何兩個量都是可公度的”時，古希臘人是如何坦然地接受了這一似乎是無可懷疑的結論。懷疑可作為公共度量的第三條線段的而存在，似乎是十分荒謬的。不是嗎？

答案就然是：就不是！

轉折是從畢達哥拉斯提出並證明勾股定理開始的。具有戲劇性與諷刺意味的是，正是他在數學上的這一重要發現，卻把他推向了兩難的尷尬境地。他的一個學生希帕索斯在擺弄老師的著名成果時，想到這樣一個問題：正方形的對角線與邊長這兩條線段是不是可通約的呢？既然任意兩條線段都是可公度，那麼一定可以找到一個度量單位來度量正方形的邊和對角線。換句話說，總存在一個長度，使正方形的邊和對角線都是這個長度的整數倍。然而，經過認真的思考，希帕索斯意外地發現這兩條線段不存在共同的度量單位，不管度量單位取得多麼小，都不可能。一句話，正方形的邊和對角線是不可公度的

我們目前所知道的是，無論如何，希帕索斯在當時提出了自己的非凡發現：存在不可公度量！這可是一項傑出的發現！在此之前，作為老師的畢達哥拉斯，在學生做出新的發現時總會很高興地認可學生的成績，因為他並非心胸狹窄之人。然而這次他並沒有為此歡欣鼓舞，相反陷入極度不安之中。如果不贊同它，理智上無法接受，學生的論斷畢竟找不出毛病。如果贊同，感情上太難接受了。因為這一發現對他及其學派來說是致命的，它將完全推翻他自己的數學與哲學信條。於是這就導致了“畢達哥拉斯的兩難”。兩難處境下，他在學派封鎖這一發現，把它作為一個嚴加防範的祕密，禁止成員向外透露。

對這類數量所取的名字是最好的證據，這種不可度量的數被他們叫做“阿洛貢”，這個詞有一層意思就是“不可說”。上帝創造的和諧的宇宙竟然出現了無法解釋的破綻，此事應絕對保密，以免他因事情暴露而把憤怒發洩到人類身上。不過後來希帕索斯本人還是把發現洩露了出去，並得到了老師的“獎賞”。

不管希帕索斯的結局如何，我們所知道的是希帕索斯因為自己的發現得到的結局並不美妙。被後人稱為“智慧之神”的畢達哥拉斯不是有勇氣承認自己的錯誤，而是想通過暴力壓制真理，這一做法令他一生蒙羞，成為他人生中的最大汙點。然而真理畢竟是撲不滅的，希帕索斯提出的不可公度問題，逐漸在社會上流傳開來。史稱“希帕索斯悖論”或“畢達哥拉斯悖論”。