程式碼均為做嚴格測試，僅供參考

分治法基本原理

將原問題分解為幾個規模較小但類似於原問題的子問題，遞迴的求解這些子問題。然後再合併這些子問題的解來建立原問題的解。遞迴求解這些子問題，然後再合併這些子問題的解來建立原問題的解。

分治法在分層遞迴時都有三個步驟：

• 分解原問題為若干子問題，這些子問題是原問題規模較小的例項。
• 解決這些子問題，遞迴的求解各個子問題。然而若子問題的規模足夠小。則直接求解。
• 合併這些子問題的解成原問題的解。

問題描述

兩個N次多項式相乘，最直接的複雜度為O(n2)，運用傅立葉變換，則可以吧多項式相乘的複雜度轉化為nlog(n)

輸入輸出均採用係數表達，假設n是2的冪，否則通過新增係數為0的高階係數。演算法準備過程如下：

• 加倍次數界：通過新增n個係數為0的高階係數，把多項式A（x）和B（x）變為次數界為2n的多項式，並構造其係數表達。
• 求值：通過應用2n階的FFT計算出A（x）和B（x）的長度為2n的點值表達。這些點值表示式中包含了兩個多項式在2n次單位根處的取值。
• 逐點相乘：把A（x）和B（x）的值逐點相乘，可以計算出多項式C（x）=A（x）B（x）長度為2n的點值表達，這個表示中包含了C（x）在每個2n單位根處的值。
• 插值：通過對2n個點值對應用fft,計算其逆DFT，就可以構造出多項式C（x）的係數表達。

基本概念和定理

1. 單位複數根

   n次單位複數根是滿足ωn=1的複數ω，這些根正好有n個，分別是e

   2πikn(k=0,1,2...n−1)

   其中e2πin被稱作主n次單位根。ωj∗ωk=ω(k+j)modn

2. 消去引理

   對於任意整數n>=0和k>=0，以及d>=0

   ωdkdn=ωkn

3. 折半引理

   如果n>0為偶數，那麼n個n次單位複數根的平方的集合就是n/2個n/2次單位複數根的集合。

   對任意非負整數k，我們有(ωkn)2=ωkn/2

4. 求和引理

   對任意整數n>=1和不能被n整除的非負整數k，有

   ∑n−1j=0(ωkn)j=0

演算法實現

DFT

我們希望計算次數界為n的多項式A(x)=∑n−1j=0ajxj

在n個n次單位複數根處的值，假設A以係數形式給出：a

=(a0,a1,a2...an−1)。接下來對k=0,1,2,..n-1，定義結果yk:

yk=A(ωkn)=∑n−1j=0ajωkjn

向量y=(y0,y1,...yn−1)就是係數向量a=(a0,a1,...,an−1)的離散傅立葉變換DFT

FFT

通過使用快速傅立葉變換的方法，利用複數單位根的特殊性質，我們就可以在θ(nlgn)的時間內計算出DFT(a)。

首先分別定義兩個新的次數界為n/2的多項式

A[0](x)=a0+a2+...an−2xn/2−1

A[1](x)=a1+a3+...an−1xn/2−1

分別包含了所有偶數下標的係數和奇數下標的係數。

A(x)=A[0](X2)+xA[1](x2)

因而求A（x）在ω0n,ω1n,…,ωn−1n處的值得問題轉化為：

1. 求次數界為n/2的多項式

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