動態規劃系列專題講義之斐波那契數列
動態規劃系列專題講義
專題一：斐波那契數列
/*
Name: 動態規劃專題之斐波那契數列
Copyright: 巧若拙
Author:
Date: 22-03-17 08:56
Description: 1755_菲波那契數列
描述：斐波那契數列是指這樣的數列: 數列的第一個和第二個數都為1，接下來每個數都等於前面2個數之和。給出一個正整數a，要求斐波那契數列中第a個數是多少。
輸入：第1行是測試資料的組數n，後面跟著n行輸入。每組測試資料佔1行，包括一個正整數a(1<= a <= 20)
輸出：輸出有n行，每行輸出對應一個輸入。輸出應是一個正整數，為菲波那契數列中第a個數的大小
樣例輸入
4
5
2
19
1
樣例輸出
5
1
4181
1
*/
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 50;
int F1[MAXN];//Fibonacci數列
int F2[MAXN] = {0, 1};//Fibonacci數列
int Fibonacci(int n); //遞迴演算法
int Fibonacci_1(int n); //備忘錄：自頂而下
int Fibonacci_2(int n);//動態規劃：自底而上
int Fibonacci_3(int n);//動態規劃：降維優化
int main()
{
int n, a;
Fibonacci_2(MAXN);//動態規劃，先記錄所有子問題的解
cin>> n;
for(int i=0; i<n; i++)
{
cin>> a;
cout << Fibonacci(a) << endl;
cout << Fibonacci_1(a) << endl;
cout << F2[a] << endl;
cout << Fibonacci_3(a) <<endl;
}
return0;
}
演算法1：遞迴演算法，沒有記錄任何中間結果。
int Fibonacci(int n)
{
if (n == 0 || n == 1) //遞迴出口
{
return //語句1
}
return Fibonacci( ) + Fibonacci( ); //語句2
}
問題1：將語句1和語句2補充完整。
參考答案：
問題1：語句1：return n;
語句2：return Fibonacci(n-1) +Fibonacci(n-2);
演算法2：備忘錄演算法：自頂而下，需要用到全域性變數F1 [MAXN]。
int Fibonacci_1(int n)
{
if (F1[n] > 0) //如果這個問題曾經計算過，直接返回
{
return //語句1
}
if(n == 0 || n == 1) //遞迴出口
{
F1[n] = //語句2
}
else
{
F1[n]= //語句3
}
return F1[n];
}
問題1：將語句1，語句2和語句3補充完整。
問題2：與演算法1（遞迴演算法）相比，演算法2（備忘錄演算法）有哪些優越之處？
參考答案：
問題1：語句1：return F1[n];
語句2：F1[n] = n;
語句3：F1[n] = Fibonacci_1(n-1) + Fibonacci_1(n-2);
問題2：遞迴演算法進行了重複計算，而備忘錄演算法利用一維陣列F1[n]記錄了子問題的解，無需重複計算，大大提高了效率。
演算法3：動態規劃：自底而上，需要用到全域性變數int F2[MAXN] ={0, 1};。
int Fibonacci_2(int n)
{
for (int i=2; i<=n; i++)
{
F2[i] = //語句1
}
return F2[n];
}
問題1：將語句1補充完整。
問題2：與演算法2（備忘錄演算法）相比，演算法3（動態規劃）有哪些異同？
參考答案：
問題1：語句1：F2[i] = F2[i-1] + F2[i-2];
問題2：備忘錄和動態規劃演算法都是利用遞推表示式獲得子問題的解，並記錄了子問題的解，用空間換時間，提高了時間效率。但是二者的思考方向不同，備忘錄演算法是自頂而下，從最終解出發，採用遞迴的方式來求解；動態規劃演算法是自底而上，從最小的子問題出發，逐步向上求出較大問題的解，直到獲得最終解。
演算法4：/動態規劃：降維優化，使用3個變數代替一維陣列。
int Fibonacci_3(int n)
{
intcur, pre1, pre2;
pre1= 0, cur = pre2 = 1; //初始化
for (int i=2; i<=n; i++) //自底向上，迭代更新變數值
{
cur= //語句1
pre1 = //語句2
pre2 = //語句3
}
return cur;
}
問題1：將語句1，語句2和語句3補充完整。
問題2：與演算法3（基本動態規劃演算法）相比，演算法4（動態規劃降維優化）有哪些異同？
參考答案：
問題1：語句1：cur = pre1 + pre2;
語句2：pre1 = pre2;
語句3：pre2 = cur;
問題2：二者同屬動態規劃演算法，都利用額外的變數（或陣列）記錄了各個子問題的解，都是從最小的子問題出發，逐步向上求出較大問題的解，直到獲得最終解。演算法3保留了所有子問題的解，雖然需要較多的空間，但是一次計算之後，就可以直接輸出任意解了；演算法4利用斐波那契數列遞推公式的特性，只保留了每個元素的當前值和它前面的2個元素值，對計算過程中產生的子問題解用過即棄，所需空間較少，但每次求解新元素的值，都需要從頭開始計算，適用於只需要求某一個元素值的情形。
課後練習：
練習1：1788_Pell數列
描述：Pell數列a1, a2, a3, ...的定義是這樣的，a1 = 1, a2 = 2, ... , an = 2* an-1 + an - 2 (n > 2)。
給出一個正整數k，要求Pell數列的第k項模上32767是多少。
輸入：第1行是測試資料的組數n，後面跟著n行輸入。每組測試資料佔1行，包括一個正整數k (1 ≤ k < 1000000)。
輸出：n行，每行輸出對應一個輸入。輸出應是一個非負整數。
樣例輸入
2
1
8
樣例輸出
1
408
練習2：3089_爬樓梯
描述：樹老師爬樓梯，他可以每次走1級或者2級，輸入樓梯的級數，求不同的走法數。
例如：樓梯一共有3級，他可以每次都走一級，或者第一次走一級，第二次走兩級也可以第一次走兩級，第二次走一級，一共3種方法。
輸入：輸入包含若干行，每行包含一個正整數N，代表樓梯級數，1<= N <= 30
輸出：不同的走法數，每一行輸入對應一行輸出
樣例輸入
5
8
10
樣例輸出
8
34
89
練習3：2046_骨牌鋪方格
描述：在2×n的一個長方形方格中,用一個1× 2的骨牌鋪滿方格,輸入n ,輸出鋪放方案的總數。例如n=3時,為2× 3方格，骨牌的鋪放方案有三種,如下圖：
輸入：輸入資料由多行組成，每行包含一個整數n,表示該測試例項的長方形方格的規格是2×n(0<n<=50)。
輸出：對於每個測試例項，請輸出鋪放方案的總數，每個例項的輸出佔一行。
樣例輸入
1
3
2
樣例輸出
1
3
2
練習4：2718_移動路線
描述：桌子上有一個m行n列的方格矩陣，將每個方格用座標表示，行座標從下到上依次遞增，列座標從左至右依次遞增，左下角方格的座標為(1,1)，則右上角方格的座標為(m,n)。
小明是個調皮的孩子，一天他捉來一隻螞蟻，不小心把螞蟻的右腳弄傷了，於是螞蟻只能向上或向右移動。小明把這隻螞蟻放在左下角的方格中，螞蟻從左下角的方格中移動到右上角的方格中，每步移動一個方格。螞蟻始終在方格矩陣內移動，請計算出不同的移動路線的數目。
對於1行1列的方格矩陣，螞蟻原地移動，移動路線數為1；對於1行2列（或2行1列）的方格矩陣，螞蟻只需一次向右（或向上）移動，移動路線數也為1……對於一個2行3列的方格矩陣，如下圖所示：
-------------------
|(2,1)|(2,2)|(2,3)|
-------------------
|(1,1)|(1,2)|(1,3)|
-------------------
螞蟻共有3種移動路線：
路線1：(1,1) → (1,2) → (1,3) → (2,3)
路線2：(1,1) → (1,2) → (2,2) → (2,3)
路線3：(1,1) → (2,1) → (2,2) → (2,3)
輸入
輸入只有一行，包括兩個整數m和n（0<m+n<=20），代表方格矩陣的行數和列數，m、n之間用空格隔開
輸出
輸出只有一行，為不同的移動路線的數目。
樣例輸入
2 3
樣例輸出
3
提示：移動路線類似爬樓梯問題，但不是一維路徑，而是二維路徑，可以使用二維陣列來記錄到各個位置的路線數量。熟練掌握基本的動態規劃演算法後，可以考慮實現降維優化。
pan � f)=Np��ج → (1,2) → (2,2) → (2,3)路線3：(1,1) → (2,1) → (2,2) → (2,3)
輸入
輸入只有一行，包括兩個整數m和n（0<m+n<=20），代表方格矩陣的行數和列數，m、n之間用空格隔開
輸出
輸出只有一行，為不同的移動路線的數目。
樣例輸入
2 3
樣例輸出
3
提示：移動路線類似爬樓梯問題，但不是一維路徑，而是二維路徑，可以使用二維陣列來記錄到各個位置的路線數量。熟練掌握基本的動態規劃演算法後，可以考慮實現降維優化。