這篇博文中直觀上講解了拉格朗日乘子法和 KKT 條件，對偶問題等內容。 首先從無約束的優化問題講起，一般就是要使一個表示式取到最小值：

minf(x)$$minf(x)$$
 如果問題是 maxf(x)$maxf(x)$ 也可以通過取反轉化為求最小值min−f(x)$min-f(x)$，這個是一個習慣。對於這類問題在高中就學過怎麼做。只要對它的每一個變數求導，然後讓偏導為零，解方程組就行了。

     所以在極值點處一定滿足 df(x)dx=0$\frac{df(x)}{dx}=0$（只是必要條件，比如 f(x)=x3$f(x)=x^3$在 x=0$x=0$ 處就不是極值點），然後對它進行求解，再代入驗證是否真的是極值點就行了。對於有些問題可以直接通過這種方法求出解析解（如最小二乘法）。

     但是也有很多問題解不出來或者很難解，所以就需要梯度下降法、牛頓法、座標下降法之類的數值迭代演算法了（感知機 、logistic 迴歸中用到）。

     對於這些迭代演算法就像下面這張圖一樣，我們希望找到其中的最小值。一個比較直觀的想法是先找一個起點，然後不斷向最低點靠近。就先把一個小球放到一個碗裡一樣。

     一開始要找一個起始點，然後確定走的方向和距離，最後還要知道什麼時候停止。這三步中最難的應該是確定走的方向。走的慢點還可以接受，要是方向錯了就找不到最小值了~。所以走的距離可以簡單的設為一個比較小的值。起始點可以隨機選一個 (x0,y0)$(x_0,y_0)$。關鍵是方向，可以選擇

(x0,y0)$(x_0,y_0)$ 處的梯度的反方向，這是函式在這個點下降最快的方向（原因可以看知乎中憶臻的回答）。它是一個向量，然後它的大小就是走的距離，為了防止太大而走過頭，導致不斷在最小值附近震盪，需要乘上一個比較小的值（稱為學習率），最終的停止條件就是梯度的大小很接近於 0（在極值點處的梯度大小就是 0）就行了。這種方法依靠梯度確定下降方向的方法叫做梯度下降法。

 對 f(x)$f(x)$ 求極小值的流程就是：

1. 隨機選定x0$x_0$
2. 得到函式在 x0$x_0$ 的梯度，然後從 x0$x_0$ 向前走一步。計算式是：xnew0=xold0−α∇f(x)$x_0^{new}=x_0^{old}-\alpha \mathrm{\nabla }f(x)$
3. 重複第 2 步，直到梯度接近於 o$o$（小於一個事先設定的很小的數），或者到達指定的迭代上限。

     除了這種方法之外，其中第 2 步還可以這樣做，固定 x$x$, 把它作為常數。就變成只有一個變數的優化問題了，直接求導為 0 就可以得到最優點，向前走到 (x0,y1)$(x_0,y_1)$處，然後固定 y1$y_1$, 對 x$x$ 進行相同的操作。這種每次只優化一個變數的方法叫做座標下降法。

     然後就是進一步的，我們可能要在滿足一定約束條件的情況下最小化目標函式，比如有一個等式約束：

minf(x)s.t.h(x)=0$$minf(x)s.t.h(x)=0$$
     解決這個的時候問題不能先用上面的方法求出 f(x)$f(x)$ 的極值點，然後留下滿足方程 h(x)=0$h(x)=0$ 的。因為這個問題的解可能根本不是 minf(x)$minf(x)$ 的解，它們是沒有關係的。那麼還是要從問題本身去找線索：

     如圖，其中的圓圈是指目標函式 f(x，y)$f(x，y)$ 投影在平面上的等值線，表示在同一個圓圈上，黑線是約束條件h(x)=0$h(x)=0$的函式影象。所以等值線與函式影象相交的點其實就是所有滿足約束的點。那麼極值點只有可能在等值線與函式影象相切的地方取到，因為如果在相交的地方取到，那麼沿著 h(x)$h(x)$ 的影象往前走或者往後走，一定還有其它的等值線與它相交，也就是 f(x,y)$f(x,y)$ 的值還能變大和變小，所以交點不是極值點，只有相切的時候才有可能是極值點(不可能同時變大和變小了)。在相切的地方 h(x)$h(x)$ 的梯度和 f(x,y)$f(x,y)$ 的梯度應該是在同一條直線上的。（這一點可以這麼想，在切點處兩個函式的梯度都與切平面垂直，所以在一條直線上） 

 所以滿足條件的極值點一定滿足：∇f(x,y)=λ∇h(x,y)(λ=0是允許的，表示f(x,y)本身的極值點剛好在切點

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