在上一篇文章中，我主要介紹了馬爾可夫決策過程（MDP）。在瞭解了增強學習的基本思想後，我們便可以繼續討論“最優策略”的求解方法：

我們之前已經說到了MDP可以表示成一個元組（X, A, P_sa, R），我們對最優策略的求解方法自然也就與這個元組密切相關：如果該過程的四元組均為已知，我們稱這樣的模型為“模型已知”，對這種已知所有環境因素的學習稱為“有模型學習”（model-basedlearning）；與之對應的就是“無模型學習”，環境因素機器無法得知的，主要是指狀態轉移概率P_xa。

本篇部落格對“有模型學習”的兩種方法進行介紹，分別是策略迭代和值迭代。在此之前，我們需要明確增強學習的兩大步驟，策略評估與策略改進：

策略評估：

在上一篇部落格中，我們已經對“狀態值函式”和“狀態動作值函式”進行了簡單介紹，但在之前的考慮中，我們是認為策略已知，故在貝爾曼方程中沒有考慮策略π的取值與改進問題。我們在此以“狀態值函式”和“狀態動作值函式”的T步累積獎賞為例重新進行完整的推導：

    (1)

關於下標，R^a_x->x’表示的是在x狀態下采取a動作，轉移到x’狀態後得到的回報，其他的類比即可。同理可以得到關於“狀態動作值函式”Q的公式：

    (2)

這樣的遞迴式才是對於完整的MDP四元組的貝爾曼等式。也就是說，我們通過這兩個公式，就可以通過逐步遞迴的方式，在程式設計上實現對策略π的評估。虛擬碼如下：

策略改進：

由於我們已經知道了怎樣對策略進行評估，那麼，我們可以產生一個很直接的求解最優策略的方法：從一個初始化的策略出發，先進行策略評估，然後改進策略，評估改進的策略，再進一步改進策略……不斷迭代更新，直達策略收斂，這種做法被稱為“策略迭代”，虛擬碼如下：

其中，Q的計算是根據公式(2)來進行的。

此外，我們不難理解，當Q^π(x,π’(x))>=V^π(x)時，我們可以認為在x的狀態下，π’策略相比原來的策略更好。再結合上一篇博文中的最優貝爾曼方程，我們可以將策略的改進視為值函式的改善，以此得出“值迭代”方法，虛擬碼如下：

但是，這兩種方法的缺點顯而易見：必須知道狀態轉移概率才能進行最優策略的計算。這在我們真實的使用場景中幾乎不可能實現，所以，我們將在下一篇中介紹適用性更強的“無模型學習”。