機器學習之支援向量機： Support Vector Machines (SVM)

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• 理解支援向量機（Understanding SVM）
• 使用支援向量機（Using SVM）
• 使用高斯核(Gaussian Kernel)訓練SVM分類器
• 使用自定義核(Custom Kernel)訓練SVM分類器
• 訓練和交叉驗證SVM分類器

理解支援向量機(Understanding SVM)

所謂支援向量是指那些在間隔區邊緣的訓練樣本點。 這裡的“機（machine，機器）”實際上是一個演算法。在機器學習領域，常把一些演算法看做是一個機器。支援向量機方法是建立在統計學習理論的VC維理論和結構風險最小原理基礎上的，根據有限的樣本資訊在模型的複雜性（即對特定訓練樣本的學習精度）和學習能力（即無錯誤地識別任意樣本的能力）之間尋求最佳折中，以求獲得最好的推廣能力 。 ——

[ 百度百科 ]

可分性資料(Separable Data)

當待分類的資料只有兩類時，你就可以用SVM進行分類。SVM通過找到最優超平面對資料進行分類。如果資料是可分的，那麼可能有好多個超平面都可以實現分類。但是對SVM來說，最優超平面(best hyper-plane)意味著在兩類之間具有最大邊際間隔(margin)的那個超平面。”Margin”意味著平行於超平面的沒有內部資料點的兩個平板(slab)的最大寬度。支援向量(support vectors) 是那些最靠近分離超平面的資料點; 這些點都分佈在slab的邊界上. 如下圖所示：“+”號表示標籤為1的樣本, and “-”號表示標籤為-1的樣本

數學表述　原問題：
訓練資料是一個d維向量集 xi∈Rd 還有與之對應的類別標籤集合 yi=±1. 那麼超平面公式可以標示為

<w,x>+b=0
其中 w∈Rd是權值向量，<w,x>是內積，b是偏置。
下面的約束優化問題定義了最優分離超平面:
目標函數：minw,b||w||約束條件：yi∗(<w,xi>+b)≥1,i=1,2,⋯,N
支援向量就是那些滿足邊界條件的資料點xi：yi∗(<w,xi>+b)=1。
為了數學處理上的方便，上面的目標函式常被替換成等效的形式：minw,b12<

w,w>， 這是一個帶約束的二次規劃問題，我們可以用拉格朗日乘數法來求解。我們將正的拉格朗日運算元αi乘以每一個約束條件，然後從目標函式中減去，如下所示：
Lp=12<w,w>−∑i=1N(αi∗(yi(<w,xi>+b)−1))
為了找到Lp(w,b)的駐點，分別對變數w和b求偏導數，並令其等於0，我們可以得到如下的方程組：
w0==∑i=1Nαiyixi∑i=1Nαiyi
得到其最優解(wˆ,bˆ) 後，對新的樣本資料z的分類如下進行：
class(z)=sign(wˆ∗z+bˆ)
因為解決二次規劃問題的對偶問題要更加簡單，所以我們要把原問題重新表述成它的對偶問題。
數學表述　對偶問題：
為了獲得對偶問題，我們將上面的方程組代入Lp就可以得到對偶問題：
LD=∑i=1Nαi−12∑i=1N∑j=1N(αiαjyiyj<xixj>)
現在，我們只需要在αi≥0的範圍內最大化目標函式LD. 這是一個標準的二次規劃問題，我們可以使用Matlab的優化工具箱來求解。一般來說，在

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