【省選】演算法總結——平衡樹
130409總結——平衡樹
其實到現在為止Treap還沒寫成功過（網上是指標，就照著指標寫。。。。球了唄。。。）
不過後來還好，SBT是陣列的，理解後想改成指標（看起來多好看的），是在無力啊。。。
想想還是算了，就陣列吧，不容易出錯
1.二叉查詢樹（二叉搜尋樹）BST
1.1基本思想
其實思想很簡單，就是建立一顆二叉樹，左子樹都小於根，右子樹都大於根，來實現快速查詢（其實很慢。。。）
1.2插入
插入X，如果X＜當前節點的值（key），就把X插入左子樹，否則插入右子樹（等於也在右子樹，方便且不容易出錯）
1.3查詢
如果要查詢一個數X，如果X＜當前key，就在左子樹找，否則就在當前節點或者右子樹找
弊端
前面說這個似快非快是有道理的，比如一個遞增序列，X1插入跟，X2進入右子樹，X3進入右子樹的右子樹，。。。。，這樣這棵樹就退化成一條鏈了！
所以我們需要實現平衡！實現嚴格log2N！
2.隨機二叉查詢樹Treap
顧名思義，Treap= Tree + heap，所以也稱作“樹堆”
前面說了BST退化的原因在於樹的根固定了，兒子有可能一直往一邊跑，那我們可不可以通過變換把樹平衡呢？先看下圖
我們可以通過把2或3給dia起來實現樹的平衡，如下圖
而Treap的思想就是給每個節點多維護一個附加資訊fix，給它一個隨機值，然後在保證key為二叉查詢樹的基礎上再給fix建立一個小（大）根堆，由於隨機數是大致平均的，所以我們也可以實現大致的平衡，雖然不是嚴格log2
操作都差不多。。。。。
3.SizeBalanced Tree
3.1基本思想
和Treap差不多，都是想辦法讓樹平衡，不過Treap額外維護了一個沒用的fix，並且還要靠RP，萬一臨考前RP不好就球了
而SBT的核心思想就是Maintain函式，它不借助額外的資訊，我們說樹不平衡就是說某個子樹的節點數（size）多了，所以我們就可以藉助這個size來使這個樹左右平衡！
3.2儲存結構
可以開結構體，但是寫出來程式碼很長（後面題目裡面有一份是結構體的，很蛋疼。。。。）
所以還是開陣列方便些
int S[N],L[N],R[N],A[N];//分別表示size，左兒子，右兒子，和當前key
3.3Maintain函式
為了描述方便用S[]表示size，L[]表示左子樹，R[]表示右子樹
Maintain分兩類
-
調整右子樹，就比較S[R[R[p]]]和S[L[p]]，如果前者大，就把p左旋，樹就平衡了；否則就再比較S[R[L[p]]]和S[L[p]]，如果前者大，就先把R[p]右旋，再把p左旋，整棵樹就平衡了；否則return
-
調整左子樹就與上面完全相反
通過上面的分析我們可以得知，核心思想就是把Size大的儘量向上走
void maintain(int &p,bool flag) //flag為true表示調整右子樹
{
if(flag)
{
if(S[R[R[p]]]>S[L[p]]) rotate_left(p);
else if(S[R[L[p]]]>S[L[p]])
{
rotate_right(R[p]);
rotate_left(p);
}
else return;
}
else{
if(S[L[L[p]]]>S[R[p]]) rotate_right(p);
else if(S[L[R[p]]]>S[R[p]])
{
rotate_left(L[p]);
rotate_right(p);
}
else return;
}
maintain(L[p],0);
maintain(R[p],1);
maintain(p,1);
maintain(p,0);
}
核心模組完了其他就好寫了
3.4左旋右旋
void rotate_left(int &x)
{
int y=R[x];
R[x]=L[y];
L[y]=x;
S[y]=S[x];
S[x]=S[L[x]]+S[R[x]]+1;
x=y;
}
void rotate_right(int &x)
{
int y=L[x];
L[x]=R[y];
R[y]=x;
S[y]=S[x];
S[x]=S[L[x]]+S[R[x]]+1;
x=y;
}
3.5插入
void insert(int &p,int k)
{
if(!p) {p=++total;init(p,k);}
else{
S[p]++;
if(k<A[p]) insert(L[p],k);
else insert(R[p],k);
maintain(p,k>=A[p]);
}
} 3.6第K大（整個區間）
int kth(int &p,int k)
{
int tmp=S[L[p]]+1;
if(k==tmp) return A[p];
else if(k<tmp) return kth(L[p],k);
else return kth(R[p],k-tmp);
}
3.7找最值
顯然，最值肯定出現在整棵樹最左（右）
int getmin()
{
int x;
for(x=root ;L[x];x= L[x]);
return A[x];
}
int getmax()
{
int x;
for(x=root ;R[x];x=R[x]);
return A[x];
} 3.8刪除
刪除操作要是題目要求而寫的很不同，所以就不寫了
差不多就這些了。。。
目前只做過一道SBT題目（儲存方式結構體和陣列都有）