參考部落格：https://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/52650026

樹狀陣列的最基本的操作單點修改，以及區間求和

單點修改：

void add(int pos,int num)
{
    while(pos < MAXN)
    {
        tree[pos] += num;
        pos += pos & -pos;
    }
    return ;
}

區間求和：

int read(int pos)
{
    int sum = 0;
    while(pos > 0)
    {
        sum += tree[pos];
        pos -= pos & -pos;
    }
    return sum;
}
 

然後重點就在我們的區間更新以及固定區間查詢的問題上了。

        我們假設函式sigma(a,i)表示的是求解a陣列前i項的和，原陣列：a[n],查分陣列：c[n]、

        其中差分陣列的定義：c[n] = a[n] - a[n-1]

        知道了差分陣列的定義，那麼我們就可以得到命題：a[i] = sigma(c,i);

證明：c[1] + c[2] + c[3] + c[4] +...+ c[n] = a[1] - a[0] + a[2] - a[1] + ... +a[n] - a[n-1] = a[n] - a[0];

這裡a陣列的0位置是不儲存任何元素的，那麼上面的命題就的得證。

那麼我們要修改區間[l,r]的數值的話，我們只需要對差分陣列c進行修改即可：c[i] += v,c[j+1] -= v;

然後我們現在說明區間求和：

   a[1] + a[2] + a[3] +... + a[n]

= c[1] + (c[1] + c[2]) + (c[1] + c[2] + c[3]) + ... + (c[1] + c[2] +c[3] +... +c[n])

= n*c[1] + (n-1)*c[2] + ... + c[n]

= n(c[1] + c[2] + ... + c[n]) - (0*c[1] + 1 * c[2] + ... + (n-1) * c[n])

我們令陣列 c2[i] = (i-1) * c[i];

這樣我們的求和就可已使用上面的函式sigma來求解了： = n*sigma(c,n) -sigma(c2,n)

這樣區間更新就結束了，下面就是程式碼的實現過程了：

sigma函式：

int sigma(int a[],ll pos)
{
    ll ans = 0;
    while(pos)
    {
        ans += a[pos];
        pos -= pos&-pos;
    }
    return ans;
}

add函式：

void add(ll a[],int pos, int num)
{
    while(pos < MAXN)
    {
        a[pos] += num;
        pos += pos&-pos;
    }
    return ;
}

然後在我們更新的時候會有一些區別

區間更新：在[l,r]之間加v

add(c1,l,v);
add(c1,r+1,-v);
add(c2,l,v*(l-1));
add(c2,r+1,-v*r);

區間求和：[l,r]區間

int sum1 = (l-1)*sigma(c1,l-1) - sigma(c2,l-1);
int sum2 = r *sigma(c1,r) - sigma(c2,r);
int ans = sum2 - sum1;

整體的程式：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN = 100100;
ll c1[MAXN],c2[MAXN],num[MAXN];
int n;
ll lowbit(ll x)
{
    return x & -x;
}

ll sigma(ll *a,ll pos)
{
    ll ans = 0;
    while(pos)
    {
        ans += a[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return ans;
}

void add(ll a[],int pos, ll num)
{
    while(pos < MAXN)
    {
        a[pos] += num;
        pos += lowbit(pos);
    }
    return ;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        scanf("%I64d",num+i);
        add(c1,i,num[i] - num[i-1]);
        add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
    }
    //首先進行區間的更新操作
    ll l,r,v;
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&l,&r,&v);
    add(c1,l,v);add(c1,r+1,-v);
    add(c2,l,v*(l-1));add(c2,r+1,-v*r);

    //然後進行區間求和操作
    scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
    ll sum1 = (l-1)*sigma(c1,l-1) - sigma(c2,l-1);
    ll sum2 = r *sigma(c1,r) - sigma(c2,r);
    printf("%I64d\n",sum2 - sum1);

}