演算法：NP問題，NP完全問題（NPC），NPhard問題
在做計算機演算法關於NP完全問題這一章的作業的時候，發現有很多概念理解的不是很透徹，然後就反覆看老師的講義，在網上查閱各種資料，花了很多時間來弄懂這塊的內容。發現書上的概念太正式，定義太標準，不容易很快理解，而網上的資料有些地方論述的不夠全面，像我這樣的新手在遇到NP家族的概念和問題的時候就很容易懵逼…因此在此將我的心得與整理的資料放在這裡，一方面供我以後自己參考，避免又搞混，一方面和大家進行交流。
一、概念介紹
下面就對這些令人頭疼的概念做個簡單的介紹和對比：
1. P類問題
這類問題是最簡單的一類問題，即所有這類問題都可以用一個確定性演算法在多項式時間內求出解。此類問題的複雜度是此類問題的一個例項的規模n的多項式函式。比如排序問題，求最短路徑問題等。
2. NP（Non-deterministic Polynomial，即多項式複雜程度的非確定性問題）問題
有些問題很難找到多項式時間的解法（也許根本就不存在），但是如果給出了該問題的一個解，我們可以在多項式時間內判斷這個解是否正確，比如對於哈密爾頓迴路問題，如果給出一個任意的迴路，我們可以很容易的判斷出該回路是否是哈密爾頓迴路（看是不是所有頂點都在迴路中)。
P類問題是NP問題的子集，原因是P類問題既然能在多項式時間內求解，也必然能在多項式時間在驗證它的解，滿足NP類問題的定義。
3. NP完全問題（NPC）
如果所有NP問題都能在多項式時間內轉化為A，則稱A為NPC問題。
NPC是NP的子集。
4. NP-hard問題（NPH，NP困難問題）
問題A不一定是一個NP問題，但所有的NPC問題都可以在多項式時間內轉化為A，則稱A為NPH問題。
二、其他知識
1. NPC問題一定是NP困難問題
根據NP完全問題和NP困難問題的定義可以發現，NP完全問題A的定義中，除了要求對於所有別的判定問題A’ ∈NP，都有A’ ∝A，還要求A∈NP，而NP困難問題不一定是NP問題，所以可以看出NP完全問題是NP困難問題的子集，所以NP完全問題一定都是NP困難問題。
2.NP困難問題中包含的一些問題是既不屬於NP也不屬於P類問題的，一個典型的例子就是第k個最重子集問題。
3.證明一個新問題A是NPC問題的方法：
a.證明A∈NP；
b.選取一個已知的NPC問題B；
c.構造一個從B到A的變換f；
d.證明f為一個多項式變換。
這裡一個關鍵的問題是如何選取參照物B和構造多項式變換f。在實際的證明中參照物的選擇帶有一定的經驗性，已知的NPC問題越多越有利。第一個被證明的NPC問題是sat問題（可滿足性問題），這個開創性的工作是由COOK完成的，自從他證明了sat問題是NPC問題以來，人們已經發現並證明了數千個NPC問題，如0/1揹包問題和哈密爾頓迴路問題等。
4.幾個典型的NPC問題
三維匹配問題(3 dimensional matching,3DM)；三元精確覆蓋問題(exact cover by 3-set,X3C)；頂點覆蓋問題(vertex cover,VC)；
哈密爾頓迴路問題（Hamiltonian circuit,HC）；劃分問題(PARTS)；三元可滿足性問題（3SAT)；團問題（CLIQUE)；0/1揹包（判定）問題（0/1KPS）
暫時先寫這麼多，本人水平有限，可能有些講的不清楚的地方，歡迎批評指正。