我來舉一個核函式把低維空間對映到高維空間的例子。

下面這張圖位於第一、二象限內。我們關注紅色的門，以及“北京四合院”這幾個字下面的紫色的字母。我們把紅色的門上的點看成是“+”資料，紫色字母上的點看成是“-”資料，它們的橫、縱座標是兩個特徵。顯然，在這個二維空間內，“+”“-”兩類資料不是線性可分的。

<img src="https://pic2.zhimg.com/50/19fa4052ea4f20651d25a1249f1e372d_hd.jpg" data-rawwidth="720" data-rawheight="342" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="720" data-original="https://pic2.zhimg.com/19fa4052ea4f20651d25a1249f1e372d_r.jpg">

我們現在考慮核函式，即“內積平方”。
這裡面是二維空間中的兩個點。

這個核函式對應著一個二維空間到三維空間的對映，它的表示式是：

可以驗證，

在P這個對映下，原來二維空間中的圖在三維空間中的像是這個樣子：

<img src="https://pic2.zhimg.com/50/c5a7b1b83b844fc5fff033c9a0d5d601_hd.jpg" data-rawwidth="720" data-rawheight="342" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="720" data-original="https://pic2.zhimg.com/c5a7b1b83b844fc5fff033c9a0d5d601_r.jpg">

（前後軸為x軸，左右軸為y軸，上下軸為z軸）

注意到綠色的平面可以完美地分割紅色和紫色，也就是說，兩類資料在三維空間中變成線性可分的了。

而三維中的這個判決邊界，再映射回二維空間中是這樣的：

<img src="https://pic3.zhimg.com/50/8f4a0d456fd9daf934c373024bf15a32_hd.jpg" data-rawwidth="720" data-rawheight="329" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="720" data-original="https://pic3.zhimg.com/8f4a0d456fd9daf934c373024bf15a32_r.jpg">

這是一條雙曲線，它不是線性的。

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如上面的例子所說，核函式的作用就是隱含著一個從低維空間到高維空間的對映，而這個對映可以把低維空間中線性不可分的兩類點變成線性可分的。

當然，我舉的這個具體例子強烈地依賴於資料在原始空間中的位置。
事實中使用的核函式往往比這個例子複雜得多。它們對應的對映並不一定能夠顯式地表達出來；它們對映到的高維空間的維數也比我舉的例子（三維）高得多，甚至是無窮維的。這樣，就可以期待原來並不線性可分的兩類點變成線性可分的了。

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在機器學習中常用的核函式，一般有這麼幾類，也就是LibSVM中自帶的這幾類：
1) 線性：
2) 多項式：
3) Radial basis function：
4) Sigmoid：

我舉的例子是多項式核函式中的情況。

在實用中，很多使用者都是盲目地試驗各種核函式，並掃描其中的引數，選擇效果最好的。至於什麼樣的核函式適用於什麼樣的問題，大多數人都不懂。很不幸，我也屬於這大多數人，所以如果有人對這個問題有理論性的理解，還請指教。

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由於我以應用SVM為主，對它的理論並不很瞭解，就不闡述什麼了。

使用SVM的很多人甚至都不知道這個條件，也不關心它；有些不滿足該條件的函式也被拿來當核函式用。