堆（Heap）

堆是一種完全二叉樹，只是是用數組的形式表示二叉樹而已

它其實是利用完全二叉樹的結構來維護一組數據

例如這樣一棵完全二叉樹：

它用堆的形式表現就是這樣的：

當然，一般的堆每個元素都是數字呢（不然小根堆與大根堆就沒辦法實現了呢）

大根堆與小根堆

顧名思義，大根堆/小根堆就是保證根節點是所有數據中最大/小，並且盡力讓小的節點在上方

例如下面這個二叉樹就是一個小根堆呢

（借鑒某書圖片）

那如何將任意一個堆調整至大根堆/小根堆呢？

1. 從上向下調整

   讓當前結點與它的左右孩子進行比較，哪個比較小就和它交換，更新詢問節點的下標為被交換的孩子節點下標，否則退出。

   void heapdown(int
    
    i) //傳入一個需要向下調整的結點編號i
   {
      int t,flag=0;//flag用來標記是否需要繼續向下調整 
      //當i結點有兒子的時候（其實是至少有左兒子的情況下）並且有需要繼續調整的時候循環需執行
      while(i*2<=n&&flag==0)
      {        
          //首先判斷他和他左兒子的關系，並用t記錄值較小的結點編號 
          if(h[i]>h[i*2])
              t=i*2;
          else t=i; 
          //如果他有右兒子的情況下，再對右兒子進行討論 
          if(i*2+1<=n)
          {
              
    
   //如果右兒子的值更小，更新較小的結點編號  
              if(h[t]>h[ i*2+1])
                  t=i*2+1;
          }
          //如果發現最小的結點編號不是自己，說明子結點中有比父結點更小的  
          if(t!=i)
          {
              swap(t,i);
              i=t;//更新i為剛才與它交換的兒子結點的編號，便於接下來繼續向下調整 
          }
          else flag=1;//則否說明當前的父結點已經比兩個子結點都要小了，不需要在進行調整了 
      }
      return;
   }
    
   

2. 從下向上調整

   讓當前結點和它的父親節點比較，若比父親節點小就交換，然後將當前詢問的節點下標更新為原父親節點下標，否則退出。　

   void heapup(int i) //傳入一個需要向上調整的結點編號i
   {
      int flag=0; //用來標記是否需要繼續向上調整
      if(i==1)  return; //如果是堆頂，就返回，不需要調整了    
      while(i!=1&&flag==0)
      {
          //判斷是否比父結點的小 
          if(h[i]<h[i/2])
              swap(i,i/2);//交換他和他爸爸的位置 
          else flag=1;//表示已經不需要調整了，當前結點的值比父結點的值要大 
          i=i/2; //這句話很重要，更新編號i為它父結點的編號，從而便於下一次繼續向上調整 
      }
      return;
   }

優先隊列

優先隊列其實是在普通隊列的基礎上增加了每個元素的優先性（值）

眾所周知，普通隊列是遵循元素先進先出的原則，進隊只能從前面進，出隊只能出最後一個

而優先隊列不再遵循先入先出的原則，而是分為兩種情況：

最大優先隊列，無論入隊順序，當前最大的元素優先出隊。

最小優先隊列，無論入隊順序，當前最小的元素優先出隊。

例如說下面的這個優先隊列出隊就需要出8這個元素

但這種算法的時間復雜度並不理想

如果只用線性數據結構的話，入隊和出隊的時間復雜度都是O(n)

但我們如果通過二叉堆的方式，每次上浮最大的或最小的

這時出隊和入隊操作都只需要O(logn)的時間復雜度了

但從來不用STL的本蒟蒻只能用結構體而不會queue的操作QAQ

數據結構_二叉樹Ⅲ——堆與優先隊列