我們從最簡單的問題開始：

給定一個長度為N的整數數列 a [ i ] , i = 0, 1 , . .. , N-1 和區間長度k.

要求：

      f ( i ) = max { a ( i - k + 1 ) , a ( i - k + 2 ) , . .. , a ( i ) } , i = 0 ,1 , . . . ,N - 1

問題的另一種描述就是用一個長度為k的區間在整數數列上移動，求區間裡面所包含的數的最大值。

解法一：

很直觀的一種解法，那就是從數列的開頭，將區間放上去，然後找到這最開始的k個數的最大值，然後區間最後移一個單元，繼續找到k個數中的最大值。

這種方法每求一個 f ( i ), 都要進行k-1次的比較，複雜度為O(N*k)。

那麼有沒有更快一點的演算法呢？

解法二：

我們知道，上一種演算法有一個地方是重複比較了，就是在找當前的 f ( i ) 的時候，i 的前面 k - 1個數其它在算 f ( i - 1) 的時候我們就比較過了。那麼我們能不能儲存上一次的結果呢？當然主要是 i 的前k-1個數中的最大值了。答案是可以，這就要用到單調遞減佇列。

單調遞減佇列是這麼一個佇列，它的頭元素一直是隊列當中的最大值，而且佇列中的值是按照遞減的順序排列的。我們可以從佇列的末尾插入一個元素，可以從佇列的兩端刪除元素。

1.首先看插入元素：為了保證佇列的遞減性，我們在插入元素v的時候，要將隊尾的元素和v比較，如果隊尾的元素不大於v,則刪除隊尾的元素，然後繼續將新的隊尾的元素與v比較，直到隊尾的元素大於v,這個時候我們才將v插入到隊尾。

2.隊尾的刪除剛剛已經說了，那麼隊首的元素什麼時候刪除呢？由於我們只需要儲存i的前k-1個元素中的最大值，所以當隊首的元素的索引或下標小於i-k+1的時候，就說明隊首的元素對於求f(i)已經沒有意義了，因為它已經不在窗裡面了。所以當index[隊首元素]<i-k+1時，將隊首元素刪除。

從上面的介紹當中，我們知道，單調佇列與佇列唯一的不同就在於它不僅要儲存元素的值，而且要儲存元素的索引（當然在實際應用中我們可以只需要儲存索引，而通過索引間接找到當前索引的值）。

為了讓讀者更明白一點，我舉個簡單的例子。

假設數列為：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那麼我們構造一個長度為3的單調遞減佇列：

首先，那8和它的索引0放入佇列中，我們用（8，0）表示，每一步插入元素時佇列中的元素如下：

0：插入8，佇列為：（8，0）

1：插入7，佇列為：（8，0），（7，1）

2：插入12，佇列為：（12，2）

3：插入5，佇列為：（12，2），（5，3）

4：插入16，佇列為：（16，4）

5：插入9，佇列為：（16，4），（9，5）

。。。。依此類推

那麼f(i)就是第i步時隊列當中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。